Extremums, optimisation et inégalités

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

En un maximum d'une fonction dérivable, comment est la tangente ?

Un extremum local se cherche parmi les zéros de $f'$ .

Si $f$ a un extremum local en $a$ , à l'intérieur de l'intervalle, alors $f'(a) = 0$ . La réciproque est fausse : il faut que $f'$ change de signe.

Inégalité : pour montrer $f \geq g$ , on étudie les variations de $f - g$ .

Un enclos rectangulaire a un périmètre de 40 m. Quelle aire maximale ?

A(x) = x(20 - x)

Avec x, l'autre côté vaut 20 − x.

A'(x) = 20 - 2x = 0

, donc

x = 10

A' s'annule.

A(10) = 100

m²

Aire.

À toi : $f(x) = x^3$ a-t-elle un extremum en 0 ? Que vaut $f'(0)$ ?

0

f' s'annule sans changer de signe : pas d'extremum.

$f'(0) = 0$ pour $f(x) = x^3$ . A-t-on un extremum en 0 ?
1. Non : $f'$ ne change pas de signe
2. Oui : $f'$ s'annule
3. Oui : un minimum

En quelle valeur de $x$ la fonction $f(x) = -x^2 + 4x$ atteint-elle son maximum ?

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Optimisation

Attention : $f'(a) = 0$ ne suffit pas.

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