Variations et courbes représentatives

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Fonctions paires et impaires

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

f(x)=x2f(x) = x^2. Que vaut f(−3)f(-3) par rapport à f(3)f(3) ?

  1. Ils sont égaux
  2. Ils sont opposés

L'idée clé

Deux symétries remarquables.

ff, définie sur un ensemble symétrique par rapport à 0, est paire si f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

ff est impaire si f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Exemple corrigé

f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x. Étudie la parité.

f(−x)=−x3+xf(-x) = -x^3 + x
On calcule.
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) : ff est impaire.
On compare.

À toi, guidé

À toi : ff est impaire et f(2)=5f(2) = 5. Que vaut f(−2)f(-2) ?

−5-5
Opposé.

Entraînement ★

  1. ff est paire et f(7)=7f(7) = 7. Que vaut f(−7)f(-7) ?
  2. ff est paire et f(8)=3f(8) = 3. Que vaut f(−8)f(-8) ?
  3. ff est paire et f(2)=4f(2) = 4. Que vaut f(−2)f(-2) ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. La fonction f(x)=7x3f(x) = 7x^3 est :
    1. impaire
    2. paire
    3. ni paire ni impaire
  2. La fonction f(x)=2x3f(x) = 2x^3 est :
    1. impaire
    2. paire
    3. ni paire ni impaire
  1. ff est impaire et f(5)=3f(5) = 3. Que vaut f(−5)f(-5) ?
  1. Quelle symétrie a la courbe d'une fonction paire ?
    1. Par rapport à l'axe des ordonnées
    2. Par rapport à l'origine
    3. Par rapport à l'axe des abscisses

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. ff est paire et f(7)=7f(7) = 7. Que vaut f(−7)f(-7) ?
  2. ff est paire et f(8)=3f(8) = 3. Que vaut f(−8)f(-8) ?
  3. ff est paire et f(2)=4f(2) = 4. Que vaut f(−2)f(-2) ?

Fiche résumé

Parité

  • Paire : f(−x)=f(x)f(-x) = f(x).
  • Impaire : f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x).

Attention : beaucoup de fonctions ne sont ni l'une ni l'autre.

2. Signe de la dérivée et variations

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Sur un intervalle, f′(x)>0f'(x) > 0 partout. Comment varie ff ?

  1. Elle est strictement croissante
  2. Elle est positive

L'idée clé

Le signe de f′f' donne le sens de variation.

Sur un intervalle : f′≥0  ⟺  ff' \geq 0 \iff f croissante ; f′≤0  ⟺  ff' \leq 0 \iff f décroissante ; f′=0  ⟺  ff' = 0 \iff f constante.

Exemple corrigé

Étudie f(x)=x2−6x+1f(x) = x^2 - 6x + 1.

f′(x)=2x−6f'(x) = 2x - 6
Dérivée.
f′(x)≥0  ⟺  x≥3f'(x) \geq 0 \iff x \geq 3
Signe.
ff décroît sur ]−∞;3]]-\infty ; 3] et croît sur [3;+∞[[3 ; +\infty[.
Variations.

À toi, guidé

À toi : pour f(x)=x2+8xf(x) = x^2 + 8x, où f′f' s'annule-t-elle ?

−4-4
2x + 8 = 0.

Entraînement ★

  1. Pour f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5, où f′f' s'annule-t-elle ?
  2. Pour f(x)=x2−8x+8f(x) = x^2 - 8x + 8, où f′f' s'annule-t-elle ?
  3. Pour f(x)=x2−2x+8f(x) = x^2 - 2x + 8, où f′f' s'annule-t-elle ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. f′(x)=7(x−1)2f'(x) = 7(x - 1)^2. Quel est le sens de variation de ff sur R\mathbb{R} ?
    1. Croissante
    2. Décroissante
    3. Décroissante puis croissante, car f′(1)=0f'(1) = 0
  2. f′(x)=6(x−1)2f'(x) = 6(x - 1)^2. Quel est le sens de variation de ff sur R\mathbb{R} ?
    1. Croissante
    2. Décroissante
    3. Décroissante puis croissante, car f′(1)=0f'(1) = 0
  1. f′(x)=x−4f'(x) = x - 4. Sur quel intervalle ff est-elle croissante ?
    1. [4;+∞[[4 ; +\infty[
    2. ]−∞;4]]-\infty ; 4]
    3. R\mathbb{R} tout entier
  1. f′f' s'annule en aa en passant du positif au négatif. Qu'a ff en aa ?
    1. Un maximum local
    2. Un minimum local
    3. Rien de particulier

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5, où f′f' s'annule-t-elle ?
  2. Pour f(x)=x2−8x+8f(x) = x^2 - 8x + 8, où f′f' s'annule-t-elle ?
  3. Pour f(x)=x2−2x+8f(x) = x^2 - 2x + 8, où f′f' s'annule-t-elle ?

Fiche résumé

Variations

  • f′≥0f' \geq 0 : ff croît. f′≤0f' \leq 0 : ff décroît.
  • On résume dans un tableau de variations.

Attention : ne confonds pas signe de f′f' et signe de ff.

3. Extremums, optimisation et inégalités

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

En un maximum d'une fonction dérivable, comment est la tangente ?

  1. Horizontale
  2. Verticale

L'idée clé

Un extremum local se cherche parmi les zéros de f′f'.

Si ff a un extremum local en aa, à l'intérieur de l'intervalle, alors f′(a)=0f'(a) = 0. La réciproque est fausse : il faut que f′f' change de signe.

Inégalité : pour montrer f≥gf \geq g, on étudie les variations de f−gf - g.

Exemple corrigé

Un enclos rectangulaire a un périmètre de 40 m. Quelle aire maximale ?

A(x)=x(20−x)A(x) = x(20 - x)
Avec x, l'autre côté vaut 20 − x.
A′(x)=20−2x=0A'(x) = 20 - 2x = 0, donc x=10x = 10
A' s'annule.
A(10)=100A(10) = 100 m²
Aire.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x3f(x) = x^3 a-t-elle un extremum en 0 ? Que vaut f′(0)f'(0) ?

00
f' s'annule sans changer de signe : pas d'extremum.

Entraînement ★

  1. Un rectangle a un périmètre de 30. Quelle aire maximale peut-il avoir ?
  2. Un rectangle a un périmètre de 20. Quelle aire maximale peut-il avoir ?
  3. Un rectangle a un périmètre de 12. Quelle aire maximale peut-il avoir ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quel est le minimum de f(x)=x2−10x+29f(x) = x^2 - 10x + 29 ?
  2. Quel est le minimum de f(x)=x2−2x+8f(x) = x^2 - 2x + 8 ?
  1. Problème final. On étudie f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x.
  1. f′(0)=0f'(0) = 0 pour f(x)=x3f(x) = x^3. A-t-on un extremum en 0 ?
    1. Non : f′f' ne change pas de signe
    2. Oui : f′f' s'annule
    3. Oui : un minimum
  1. En quelle valeur de xx la fonction f(x)=−x2+4xf(x) = -x^2 + 4x atteint-elle son maximum ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Un rectangle a un périmètre de 30. Quelle aire maximale peut-il avoir ?
  2. Un rectangle a un périmètre de 20. Quelle aire maximale peut-il avoir ?
  3. Un rectangle a un périmètre de 12. Quelle aire maximale peut-il avoir ?

Fiche résumé

Optimisation

  • Annule f′f'.
  • Vérifie un changement de signe.

Attention : f′(a)=0f'(a) = 0 ne suffit pas.

Corrigé: Variations et courbes représentatives

1. Fonctions paires et impaires

A

  1. 77
  2. 33
  3. 44

B

  1. impaire
  2. impaire

C

  1. −3-3

D

  1. Par rapport à l'axe des ordonnées

E

  1. 77
  2. 33
  3. 44

2. Signe de la dérivée et variations

A

  1. 22
  2. 44
  3. 11

B

  1. Croissante
  2. Croissante

C

  1. [4;+∞[[4 ; +\infty[

D

  1. Un maximum local

E

  1. 22
  2. 44
  3. 11

3. Extremums, optimisation et inégalités

A

  1. 2254\frac{225}{4}
  2. 2525
  3. 99

B

  1. 44
  2. 77

C

  1. 22

D

  1. Non : f′f' ne change pas de signe

E

  1. 22

F

  1. 2254\frac{225}{4}
  2. 2525
  3. 99