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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Avec le corrigé

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1. Règles de calcul sur les puissances

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$2^3 \times 2^4$ signifie $(2 \times 2 \times 2)(2 \times 2 \times 2 \times 2)$ . Combien de facteurs 2 cela fait-il ?

$7$
$12$

L'idée clé

Les règles viennent du comptage des facteurs.

Pour une même base :

a^m \times a^n = a^{m + n}

\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}

(a^m)^n = a^{mn}

. De plus,

a^n \times b^n = (ab)^n

Exemple corrigé

Simplifie $\dfrac{(5^2)^3 \times 5^4}{5^7}$ .

(5^2)^3 = 5^6

Puissance d'une puissance.

5^6 \times 5^4 = 5^{10}

Produit.

5^{10} \div 5^7 = 5^3

Quotient.

À toi, guidé

À toi : $3^5 \times 3^2 = 3^{?}$ .

7

5 + 2.

Entraînement ★

$6^{ 2 } \times 6^{ 5 } = 6^{?}$ . Quel est l'exposant ?
$8^{ 5 } \times 8^{ 9 } = 8^{?}$ . Quel est l'exposant ?

$\dfrac{ 3^{ 12 } }{ 3^{ 5 } } = 3^{?}$ . Quel est l'exposant ?

Attention !

Entraînement ★★

$\left(9^{ 4 }\right)^{ 4 } = 9^{?}$ . Quel est l'exposant ?
$\left(6^{ 3 }\right)^{ 3 } = 6^{?}$ . Quel est l'exposant ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$6^{ 2 } \times 6^{ 5 } = 6^{?}$ . Quel est l'exposant ?
$8^{ 5 } \times 8^{ 9 } = 8^{?}$ . Quel est l'exposant ?
$9^{ 3 } \times 9^{ 7 } = 9^{?}$ . Quel est l'exposant ?

Fiche résumé

Règles des puissances

Produit : on additionne. Quotient : on soustrait.
Puissance d'une puissance : on multiplie.

Attention : en cas de doute, compte les facteurs.

2. Exposants nuls et négatifs

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$10^3 = 1000$ , $10^2 = 100$ , $10^1 = 10$ . À chaque étape, on divise par 10. Que vaut $10^0$ ?

L'idée clé

On continue à diviser pour aller sous l'exposant 1.

Pour

a \neq 0

a^0 = 1

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

. Les règles de calcul restent vraies.

Exemple corrigé

Calcule $2^{-3}$ et $10^5 \times 10^{-2}$ .

2^{-3} = \dfrac{1}{8}

1 sur 2³.

10^5 \times 10^{-2} = 10^3

5 + (−2).

À toi, guidé

À toi : écris $10^{-2}$ comme une fraction.

\dfrac{1}{100}

1/10².

Entraînement ★

Écris $5^{-1}$ sous forme de fraction.
Écris $4^{-1}$ sous forme de fraction.

Que vaut $51^0$ ?

Attention !

Entraînement ★★

$10^{ 6 } \times 10^{-9} = 10^{?}$ . Quel est l'exposant ?
$10^{ 8 } \times 10^{-9} = 10^{?}$ . Quel est l'exposant ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Écris $5^{-1}$ sous forme de fraction.
Écris $4^{-1}$ sous forme de fraction.
Écris $2^{-1}$ sous forme de fraction.

Fiche résumé

Exposants nuls et négatifs

$a^0 = 1$ .
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ .

Attention : un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.

3. Racines carrées

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

A-t-on $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16}$ ?

Non : $5 \neq 7$
Oui

L'idée clé

Les racines se comportent bien avec les produits.

Pour $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ et $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ( $b > 0$ ).

$\sqrt{a^2} = |a|$ pour tout réel $a$ .

Exemple corrigé

Simplifie $\sqrt{50}$ .

\sqrt{25 \times 2}

50 = 25 × 2.

5\sqrt{2}

On sépare.

À toi, guidé

À toi : que vaut $\sqrt{(-3)^2}$ ?

3

|−3|.

Entraînement ★

Écris $\sqrt{ 128 }$ sous la forme $a\sqrt{ 2 }$ . Que vaut $a$ ?
Écris $\sqrt{ 243 }$ sous la forme $a\sqrt{ 3 }$ . Que vaut $a$ ?
Écris $\sqrt{ 98 }$ sous la forme $a\sqrt{ 2 }$ . Que vaut $a$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Calcule $\sqrt{(-3)^2}$ .
Calcule $\sqrt{(-9)^2}$ .

Calcule $\sqrt{ 9 } \times \sqrt{ 9 }$ .

$\sqrt{9 + 16}$ est-il égal à $\sqrt{9} + \sqrt{16}$ ?
1. Non : $\sqrt{25} = 5$ , alors que $3 + 4 = 7$
2. Oui : la racine se distribue
3. Oui : les deux valent 7

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Écris $\sqrt{ 128 }$ sous la forme $a\sqrt{ 2 }$ . Que vaut $a$ ?
Écris $\sqrt{ 243 }$ sous la forme $a\sqrt{ 3 }$ . Que vaut $a$ ?
Écris $\sqrt{ 98 }$ sous la forme $a\sqrt{ 2 }$ . Que vaut $a$ ?

Fiche résumé

Racines carrées

$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ .
$\sqrt{a^2} = |a|$ .

Attention : pas de règle pour une somme.

4. Identités remarquables et expressions fractionnaires

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Développe $(x + 3)^2$ .

$x^2 + 6x + 9$
$x^2 + 9$

L'idée clé

Trois identités à connaître dans les deux sens.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ; $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ; $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ .

Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur : $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$ .

Exemple corrigé

Factorise $x^2 - 25$ , puis calcule $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2}$ .

(x - 5)(x + 5)

Différence de deux carrés.

\dfrac{2 + x}{2x}

Dénominateur commun 2x.

À toi, guidé

À toi : développe $(x - 1)(x + 1)$ .

x^2 - 1

x² − 1.

Entraînement ★

Développe $(x + 9)^2$ .
Développe $(x + 2)^2$ .

Factorise $x^2 - 4$ .

Attention !

Entraînement ★★

Problème final. On étudie $E = (x + 2)^2 - (x - 2)^2$ .
Problème final. On étudie $E = (x + 5)^2 - (x - 5)^2$ .

Développe $(x - 4)^2$ .

Calcule $\dfrac{1}{ 2 } + \dfrac{1}{ 5 }$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Développe $(x + 9)^2$ .
Développe $(x + 2)^2$ .
Développe $(x + 8)^2$ .

Fiche résumé

Identités

$(a + b)^2$ , $(a - b)^2$ , $(a + b)(a - b)$ .
Fractions : même dénominateur.

Attention : n'oublie pas le double produit.

5. Isoler une variable dans une formule

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un rectangle a pour périmètre $P = 2L + 2\ell$ . On connaît $P$ et $L$ . Quelle formule donne $\ell$ directement ?

$\ell = \dfrac{P - 2L}{2}$
$\ell = \dfrac{P}{2} - 2L$

L'idée clé

On isole une lettre comme on isole $x$ .

Pour isoler une variable, on traite les autres lettres comme des nombres : mêmes opérations, jusqu'à ce que cette variable soit seule. On divise tous les termes.

Exemple corrigé

Isole $y$ dans $3x + 2y = 12$ .

2y = 12 - 3x

On soustrait 3x.

y = \dfrac{12 - 3x}{2}

On divise les deux termes par 2.

À toi, guidé

À toi : isole $x$ dans $y = 4x + 8$ .

x = \dfrac{y - 8}{4}

On soustrait 8, puis on divise par 4.

Entraînement ★

Une voiture parcourt 2 km par minute : $d = 2t$ . Isole $t$ . $t = \;?$
Une voiture parcourt 4 km par minute : $d = 4t$ . Isole $t$ . $t = \;?$

Isole $y$ dans $7x + 9y = 23$ . $y = \;?$

Attention !

Entraînement ★★

Isole $x$ dans $y = 9x + 3$ . $x = \;?$
Isole $x$ dans $y = 2x + 4$ . $x = \;?$

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Isole $y$ dans $7x + 9y = 23$ . $y = \;?$
Isole $y$ dans $7x + 5y = 13$ . $y = \;?$
Isole $y$ dans $7x + 8y = 7$ . $y = \;?$

Fiche résumé

Isoler une variable

Mêmes opérations qu'avec des nombres.
Les autres lettres sont des nombres inconnus.

Attention : divise tous les termes.

Corrigé: Calcul numérique et littéral

1. Règles de calcul sur les puissances

$7$
$14$

$16$
$9$

$7$
$14$
$10$

2. Exposants nuls et négatifs

$\frac{1}{5}$
$\frac{1}{4}$

$-3$
$-1$

$\frac{1}{5}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$

3. Racines carrées

Non : $\sqrt{25} = 5$ , alors que $3 + 4 = 7$

4. Identités remarquables et expressions fractionnaires

$x^{2} + 18 x + 81$
$x^{2} + 4 x + 4$

$\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)$

$8 x$
$20 x$

$x^{2} - 8 x + 16$

$\frac{7}{10}$

$x^{2} + 18 x + 81$
$x^{2} + 4 x + 4$
$x^{2} + 16 x + 64$

5. Isoler une variable dans une formule

$\frac{d}{2}$
$\frac{d}{4}$

$\frac{23}{9} - \frac{7 x}{9}$

$\frac{y}{9} - \frac{1}{3}$
$\frac{y}{2} - 2$

$\frac{23}{9} - \frac{7 x}{9}$
$\frac{13}{5} - \frac{7 x}{5}$
$\frac{7}{8} - \frac{7 x}{8}$