Droites du plan

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Vecteur directeur et équation cartésienne

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La droite passe par A(1;1)A(1 ; 1) et B(3;4)B(3 ; 4). Quel vecteur est directeur ?

  1. (2;3)(2 ; 3)
  2. (3;2)(3 ; 2)

L'idée clé

Une droite a une équation cartésienne ax+by+c=0ax + by + c = 0.

u⃗(−b;a)\vec{u}(-b ; a) est directeur de la droite ax+by+c=0ax + by + c = 0.

Un point MM est sur la droite passant par AA, de vecteur directeur u⃗\vec{u}, si det⁡(AM→,u⃗)=0\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0.

Exemple corrigé

Droite passant par A(1;2)A(1 ; 2), de vecteur directeur u⃗(3;1)\vec{u}(3 ; 1).

(x−1)×1−(y−2)×3=0(x - 1) \times 1 - (y - 2) \times 3 = 0
Déterminant.
x−3y+5=0x - 3y + 5 = 0
On simplifie.

À toi, guidé

À toi : quelle valeur de cc pour 2x+y+c=02x + y + c = 0 passant par (1;1)(1 ; 1) ?

−3-3
2 + 1 + c = 0.

Entraînement ★

  1. La droite 5x+1y+c=05x + 1y + c = 0 passe par (5;4)(5 ; 4). Que vaut cc ?
  2. La droite 2x+4y+c=02x + 4y + c = 0 passe par (1;4)(1 ; 4). Que vaut cc ?
  3. La droite 2x+1y+c=02x + 1y + c = 0 passe par (4;3)(4 ; 3). Que vaut cc ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quel vecteur est directeur de 5x+8y−1=05x + 8y - 1 = 0 ?
    1. (−8;5)(-8 ; 5)
    2. (5;8)(5 ; 8)
    3. (8;5)(8 ; 5)
  2. Quel vecteur est directeur de 3x+8y−1=03x + 8y - 1 = 0 ?
    1. (−8;3)(-8 ; 3)
    2. (3;8)(3 ; 8)
    3. (8;3)(8 ; 3)
  1. Quel est un vecteur directeur de la droite y=2x+1y = 2x + 1 ?
    1. u⃗(1;2)\vec{u}(1 ; 2)
    2. u⃗(2;1)\vec{u}(2 ; 1)
    3. u⃗(1;1)\vec{u}(1 ; 1)
  1. Le point (3;y)(3 ; y) est sur la droite 1x−y+3=01x - y + 3 = 0. Que vaut yy ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. La droite 5x+1y+c=05x + 1y + c = 0 passe par (5;4)(5 ; 4). Que vaut cc ?
  2. La droite 2x+4y+c=02x + 4y + c = 0 passe par (1;4)(1 ; 4). Que vaut cc ?
  3. La droite 2x+1y+c=02x + 1y + c = 0 passe par (4;3)(4 ; 3). Que vaut cc ?

Fiche résumé

Équation cartésienne

  • ax+by+c=0ax + by + c = 0.
  • Directeur : (−b;a)(-b ; a).

Attention : on vérifie un point en le remplaçant.

2. Équation réduite et pente

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La droite y=2x+1y = 2x + 1. Quelle est sa pente ?

  1. 22
  2. 11

L'idée clé

Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation réduite.

y=mx+py = mx + p, où m=yB−yAxB−xAm = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} est la pente et pp l'ordonnée à l'origine. Les droites parallèles à l'axe des ordonnées ont pour équation x=cx = c.

Exemple corrigé

Droite passant par A(1;3)A(1 ; 3) et B(3;7)B(3 ; 7).

m=42=2m = \dfrac{4}{2} = 2
Pente.
3=2+p3 = 2 + p, soit p=1p = 1
On remplace A.
y=2x+1y = 2x + 1
Équation.

À toi, guidé

À toi : quelle est la pente de la droite passant par (0;0)(0 ; 0) et (2;6)(2 ; 6) ?

33
6/2.

Entraînement ★

  1. Calcule la pente de la droite passant par A(4;2)A(4 ; 2) et B(8;26)B(8 ; 26).
  2. Calcule la pente de la droite passant par A(6;3)A(6 ; 3) et B(11;33)B(11 ; 33).
  3. Calcule la pente de la droite passant par A(2;1)A(2 ; 1) et B(7;11)B(7 ; 11).

Attention !

Entraînement ★★

  1. La droite de pente 5 passe par (5;28)(5 ; 28). Que vaut son ordonnée à l'origine ?
  2. La droite de pente 4 passe par (4;22)(4 ; 22). Que vaut son ordonnée à l'origine ?
  1. Quel est le coefficient directeur de y=3x+5y = 3x + 5 ?
  1. Pour la droite y=5x+1y = 5x + 1, que vaut yy quand x=4x = 4 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule la pente de la droite passant par A(4;2)A(4 ; 2) et B(8;26)B(8 ; 26).
  2. Calcule la pente de la droite passant par A(6;3)A(6 ; 3) et B(11;33)B(11 ; 33).
  3. Calcule la pente de la droite passant par A(2;1)A(2 ; 1) et B(7;11)B(7 ; 11).

Fiche résumé

Équation réduite

  • y=mx+py = mx + p.
  • m=ΔyΔxm = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}.

Attention : Δy\Delta y est au numérateur.

3. Droites parallèles et sécantes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

y=2x+1y = 2x + 1 et y=2x−3y = 2x - 3 se coupent-elles ?

  1. Non, elles sont parallèles
  2. Oui, en un point

L'idée clé

La pente décide de tout.

Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente, sécantes sinon. On trouve l'intersection en résolvant mx+p=m′x+p′mx + p = m'x + p'.

Exemple corrigé

Intersection de y=3x+1y = 3x + 1 et y=x+5y = x + 5.

3x+1=x+53x + 1 = x + 5
Égalité.
x=2x = 2
On résout.
(2;7)(2 ; 7)
Point.

À toi, guidé

À toi : quelle est l'abscisse de l'intersection de y=xy = x et y=−x+4y = -x + 4 ?

22
2x = 4.

Entraînement ★

  1. Quelle est l'abscisse de l'intersection de y=3x+5y = 3x + 5 et y=x+15y = x + 15 ?
  2. Quelle est l'abscisse de l'intersection de y=4x+5y = 4x + 5 et y=x+23y = x + 23 ?
  3. Quelle est l'abscisse de l'intersection de y=3x+2y = 3x + 2 et y=x+12y = x + 12 ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle droite est parallèle à y=5x+1y = 5x + 1 ?
    1. y=5x−1y = 5x - 1
    2. y=−5x+1y = -5x + 1
    3. y=1x+5y = 1x + 5
  2. Quelle droite est parallèle à y=6x+9y = 6x + 9 ?
    1. y=6x−9y = 6x - 9
    2. y=−6x+9y = -6x + 9
    3. y=9x+6y = 9x + 6
  1. Problème final. dd a pour pente 3 et passe par (2;8)(2 ; 8). d′d' a pour équation y=x+6y = x + 6.
  1. Les droites y=6x+7y = 6x + 7 et y=−6xy = -6x sont :
    1. Sécantes
    2. Parallèles
    3. Confondues
  1. La droite dd est parallèle à y=6x+6y = 6x + 6 et passe par (0;12)(0 ; 12). Quel est son coefficient directeur ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est l'abscisse de l'intersection de y=3x+5y = 3x + 5 et y=x+15y = x + 15 ?
  2. Quelle est l'abscisse de l'intersection de y=4x+5y = 4x + 5 et y=x+23y = x + 23 ?
  3. Quelle est l'abscisse de l'intersection de y=3x+2y = 3x + 2 et y=x+12y = x + 12 ?

Fiche résumé

Position de deux droites

  • Même pente : parallèles.
  • Sinon, résoudre mx+p=m′x+p′mx + p = m'x + p'.

Attention : vérifie avec l'autre équation.

Corrigé: Droites du plan

1. Vecteur directeur et équation cartésienne

A

  1. −29-29
  2. −18-18
  3. −11-11

B

  1. (−8;5)(-8 ; 5)
  2. (−8;3)(-8 ; 3)

C

  1. u⃗(1;2)\vec{u}(1 ; 2)

D

  1. 66

E

  1. −29-29
  2. −18-18
  3. −11-11

2. Équation réduite et pente

A

  1. 66
  2. 66
  3. 22

B

  1. 33
  2. 66

C

  1. 33

D

  1. 2121

E

  1. 66
  2. 66
  3. 22

3. Droites parallèles et sécantes

A

  1. 55
  2. 66
  3. 55

B

  1. y=5x−1y = 5x - 1
  2. y=6x−9y = 6x - 9

C

  1. 88

D

  1. Sécantes

E

  1. 66

F

  1. 55
  2. 66
  3. 55