Équations et inéquations

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Résoudre une équation du premier degré

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une fête coûte 40 € plus 12 € par pizza, et le total vaut 100 €. Quelle équation convient ?

  1. 40+12p=10040 + 12p = 100
  2. 40p+12=10040p + 12 = 100

L'idée clé

Des équations équivalentes ont les mêmes solutions.

Pour résoudre une équation du premier degré, on ajoute ou on soustrait le même nombre aux deux membres, on multiplie ou on divise par un même nombre non nul. On s'arrête quand xx est seul.

Exemple corrigé

Résous 5x+3=2x+155x + 3 = 2x + 15.

3x+3=153x + 3 = 15
On soustrait 2x.
3x=123x = 12
On soustrait 3.
x=4x = 4
On divise par 3.

À toi, guidé

À toi : 3(x+2)=213(x + 2) = 21. Trouve xx.

x=5x = 5
On divise par 3 : x + 2 = 7.

Entraînement ★

  1. Résous 3x+3=−183x + 3 = -18. x=  ?x = \;?
  2. Résous 8x+14=−268x + 14 = -26. x=  ?x = \;?
  1. Résous 4x+8=3x+94x + 8 = 3x + 9. x=  ?x = \;?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Résous 6(x+4)=306(x + 4) = 30. x=  ?x = \;?
  2. Résous 3(x+4)=333(x + 4) = 33. x=  ?x = \;?
  1. Problème final. Une salle de sport demande 35 € d'inscription, plus 37 € par mois. On note nn le nombre de mois.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous 3x+3=−183x + 3 = -18. x=  ?x = \;?
  2. Résous 8x+14=−268x + 14 = -26. x=  ?x = \;?
  3. Résous 4x+4=324x + 4 = 32. x=  ?x = \;?

Fiche résumé

Équations

  • On fait la même chose aux deux membres.
  • On s'arrête quand xx est seul.

Attention : développe tous les termes.

2. Résoudre une inéquation du premier degré

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

−2x>6-2x > 6. Essaie x=−4x = -4 : −2×(−4)=8>6-2 \times (-4) = 8 > 6. Quel ensemble décrit toutes les solutions ?

  1. x<−3x < -3
  2. x>−3x > -3

L'idée clé

On résout une inéquation comme une équation, avec une règle de plus.

Ajouter, soustraire, multiplier ou diviser par un nombre positif conserve le sens. Multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens. Un signe strict (<<, >>) exclut la borne ; ≤\leq et ≥\geq l'incluent.

Exemple corrigé

Résous −3x+4≤13-3x + 4 \leq 13.

−3x≤9-3x \leq 9
On soustrait 4.
x≥−3x \geq -3
On divise par −3 : le sens change.
[−3;+∞[[-3 ; +\infty[
Borne incluse.

À toi, guidé

À toi : 2x−1<92x - 1 < 9. Quelle est la valeur limite de xx ?

x<5x < 5
2x < 10.

Entraînement ★

  1. Résous 8x+5<458x + 5 < 45. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
  2. Résous 6x+5<596x + 5 < 59. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
  1. Tu as 109 € et un billet coûte 9 €. Résous 9t≤1099t \leq 109 : combien de billets peux-tu acheter au plus ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Résous −2x+17≤9-2x + 17 \leq 9. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
  2. Résous −2x+1≤19-2x + 1 \leq 19. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous 8x+5<458x + 5 < 45. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
  2. Résous 6x+5<596x + 5 < 59. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
  3. Résous 7x+9<−547x + 9 < -54. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Fiche résumé

Inéquations

  • Comme une équation.
  • Le sens change si on multiplie ou divise par un négatif.

Attention : vérifie avec un nombre de ta solution.

3. Inégalités et comparaison

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On sait que a<ba < b. Que dire de −a-a et −b-b ?

  1. −a>−b-a > -b
  2. −a<−b-a < -b

L'idée clé

Comparer revient à étudier un signe.

Si a<ba < b : a+c<b+ca + c < b + c ; pour c>0c > 0, ac<bcac < bc ; pour c<0c < 0, ac>bcac > bc. Deux inégalités de même sens s'additionnent.

a≤b  ⟺  a−b≤0a \leq b \iff a - b \leq 0. Pour a,b>0a, b > 0 : a≤b  ⟺  ab≤1a \leq b \iff \dfrac{a}{b} \leq 1.

Exemple corrigé

Compare 34\dfrac{3}{4} et 57\dfrac{5}{7}.

34−57=21−2028\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{7} = \dfrac{21 - 20}{28}
Différence.
34>57\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{7}
Positive.

À toi, guidé

À toi : 1≤x≤31 \leq x \leq 3. Quelle est la plus grande valeur de 2x2x ?

66
2 × 3.

Entraînement ★

  1. On sait que 1≤x≤31 \leq x \leq 3. Quelle est la plus petite valeur de −6x-6x ?
  2. On sait que 1≤x≤21 \leq x \leq 2. Quelle est la plus petite valeur de −4x-4x ?
  3. On sait que 2≤x≤32 \leq x \leq 3. Quelle est la plus petite valeur de −3x-3x ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Compare 56\dfrac{ 5 }{ 6 } et 67\dfrac{ 6 }{ 7 }.
    1. Le premier est plus petit
    2. Le premier est plus grand
    3. Ils sont égaux
  2. Compare 23\dfrac{ 2 }{ 3 } et 34\dfrac{ 3 }{ 4 }.
    1. Le premier est plus petit
    2. Le premier est plus grand
    3. Ils sont égaux
  1. Si x<yx < y, que peut-on dire de −3x-3x et −3y-3y ?
    1. −3x>−3y-3x > -3y
    2. −3x<−3y-3x < -3y
    3. −3x=−3y-3x = -3y
  1. On sait que x≤1x \leq 1. Quel est le plus grand nombre que peut valoir x+2x + 2 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. On sait que 1≤x≤31 \leq x \leq 3. Quelle est la plus petite valeur de −6x-6x ?
  2. On sait que 1≤x≤21 \leq x \leq 2. Quelle est la plus petite valeur de −4x-4x ?
  3. On sait que 2≤x≤32 \leq x \leq 3. Quelle est la plus petite valeur de −3x-3x ?

Fiche résumé

Inégalités

  • Le sens change en multipliant par un négatif.
  • On compare par différence ou par quotient.

Attention : deux inégalités ne se soustraient pas.

4. La propriété du produit nul

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

a×b=0a \times b = 0. Que peut-on affirmer ?

  1. a=0a = 0 ou b=0b = 0
  2. a=0a = 0 et b=0b = 0

L'idée clé

Une équation produit se résout facteur par facteur.

Si A×B=0A \times B = 0, alors A=0A = 0 ou B=0B = 0. Cette règle ne marche que si l'un des membres vaut 0.

Exemple corrigé

Résous (3x−6)(x+4)=0(3x - 6)(x + 4) = 0.

3x−6=03x - 6 = 0, soit x=2x = 2
Premier facteur.
x+4=0x + 4 = 0, soit x=−4x = -4
Second facteur.

À toi, guidé

À toi : quelle est la solution non nulle de x(x−9)=0x(x - 9) = 0 ?

99
x − 9 = 0.

Entraînement ★

  1. Résous x(x−3)=0x(x - 3) = 0. Donne toutes les solutions.
  2. Résous x(x−2)=0x(x - 2) = 0. Donne toutes les solutions.
  1. Résous (4x−6)(x+8)=0(4x - 6)(x + 8) = 0. Donne toutes les solutions.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Pour résoudre (x−3)(x+7)=4(x - 3)(x + 7) = 4, Ana écrit « x−3=4x - 3 = 4 ou x+7=4x + 7 = 4 ». A-t-elle raison ?
    1. Non : la règle du produit nul ne marche que si le produit vaut 0
    2. Oui : on égale chaque facteur à 4
    3. Seul le premier facteur peut valoir 4
  2. Pour résoudre (x−7)(x+6)=17(x - 7)(x + 6) = 17, Ana écrit « x−7=17x - 7 = 17 ou x+6=17x + 6 = 17 ». A-t-elle raison ?
    1. Non : la règle du produit nul ne marche que si le produit vaut 0
    2. Oui : on égale chaque facteur à 17
    3. Seul le premier facteur peut valoir 17

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous (4x−6)(x+8)=0(4x - 6)(x + 8) = 0. Donne toutes les solutions.
  2. Résous (2x−5)(x+9)=0(2x - 5)(x + 9) = 0. Donne toutes les solutions.
  3. Résous (5x−3)(x+8)=0(5x - 3)(x + 8) = 0. Donne toutes les solutions.

Fiche résumé

Produit nul

  • Produit nul : on annule chaque facteur.
  • L'autre membre doit être 0.

Attention : ne divise jamais par xx : tu perdrais x=0x = 0.

5. Équations quotient et x² = a

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

x−1x+2=0\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0. Quelle valeur de xx convient ?

  1. 11
  2. −2-2

L'idée clé

Un quotient est nul si son numérateur l'est, son dénominateur étant non nul.

A(x)B(x)=k\dfrac{A(x)}{B(x)} = k se résout en écartant les valeurs où B(x)=0B(x) = 0. Pour a>0a > 0 : x2=ax^2 = a a deux solutions, a\sqrt{a} et −a-\sqrt{a}. Pour a<0a < 0, aucune.

Exemple corrigé

Résous 2x=5\dfrac{2}{x} = 5.

2=5x2 = 5x
x ≠ 0. On multiplie par x.
x=25x = \dfrac{2}{5}
Solution.

À toi, guidé

À toi : combien de solutions a x2=9x^2 = 9 ?

22
±3.

Entraînement ★

  1. Résous x−7x−8=0\dfrac{x - 7}{x - 8} = 0.
  2. Résous x−9x−8=0\dfrac{x - 9}{x - 8} = 0.
  3. Résous x−3x−4=0\dfrac{x - 3}{x - 4} = 0.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la solution positive de x2=36x^2 = 36 ?
  2. Quelle est la solution positive de x2=81x^2 = 81 ?
  1. Quelle valeur faut-il exclure dans l'équation x+1x−6=2\dfrac{x + 1}{x - 6} = 2 ?
    1. 66
    2. −1-1
    3. 00
  1. Quelles sont les solutions de x2=49x^2 = 49 ?
    1. 77 et −7-7
    2. 77 seulement
    3. 4949

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous x−7x−8=0\dfrac{x - 7}{x - 8} = 0.
  2. Résous x−9x−8=0\dfrac{x - 9}{x - 8} = 0.
  3. Résous x−3x−4=0\dfrac{x - 3}{x - 4} = 0.

Fiche résumé

Équations particulières

  • Écarte les valeurs interdites.
  • x2=ax^2 = a : deux solutions si a>0a > 0.

Attention : pense à la solution négative.

Corrigé: Équations et inéquations

1. Résoudre une équation du premier degré

A

  1. −7-7
  2. −5-5

B

  1. 11

C

  1. 11
  2. 77

D

  1. 1414

E

  1. −7-7
  2. −5-5
  3. 77

2. Résoudre une inéquation du premier degré

A

  1. ]−∞ ; 5[]-\infty\,;\,5[
  2. ]−∞ ; 9[]-\infty\,;\,9[

B

  1. 1212

C

  1. [4 ; +∞[[4\,;\,+\infty[
  2. [−9 ; +∞[[-9\,;\,+\infty[

D

  1. ]−∞ ; 5[]-\infty\,;\,5[
  2. ]−∞ ; 9[]-\infty\,;\,9[
  3. ]−∞ ; −9[]-\infty\,;\,-9[

3. Inégalités et comparaison

A

  1. −18-18
  2. −8-8
  3. −9-9

B

  1. Le premier est plus petit
  2. Le premier est plus petit

C

  1. −3x>−3y-3x > -3y

D

  1. 33

E

  1. −18-18
  2. −8-8
  3. −9-9

4. La propriété du produit nul

A

  1. 0, 30,\ 3
  2. 0, 20,\ 2

B

  1. 32, −8\frac{3}{2},\ -8

C

  1. Non : la règle du produit nul ne marche que si le produit vaut 0
  2. Non : la règle du produit nul ne marche que si le produit vaut 0

D

  1. 32, −8\frac{3}{2},\ -8
  2. 52, −9\frac{5}{2},\ -9
  3. 35, −8\frac{3}{5},\ -8

5. Équations quotient et x² = a

A

  1. 77
  2. 99
  3. 33

B

  1. 66
  2. 99

C

  1. 66

D

  1. 77 et −7-7

E

  1. 77
  2. 99
  3. 33