Fonctions

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Qu'est-ce qu'une fonction : une image pour chaque antécédent

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un distributeur : on appuie sur un bouton et on obtient un en-cas. Le bouton B4 donne parfois des chips, parfois un biscuit. Quel est le problème ?

  1. Un même bouton donne deux résultats différents
  2. Deux boutons peuvent donner le même en-cas

L'idée clé

Une fonction associe à chaque nombre une seule image.

Une fonction associe à chaque valeur de xx une seule image. Plusieurs valeurs peuvent avoir la même image. Sur un graphique, une droite verticale coupe la courbe d'une fonction au plus une fois.

Exemple corrigé

(1;5),(2;5),(3;7)(1 ; 5), (2 ; 5), (3 ; 7) et (1;5),(1;6),(2;7)(1 ; 5), (1 ; 6), (2 ; 7).

Le premier : une fonction.
Chaque valeur une seule fois.
Le second : pas une fonction.
1 a pour images 5 et 6.

À toi, guidé

À toi : la règle « tripler, puis retirer 4 ». Quelle est l'image de 5 ?

1111
15 − 4.

Entraînement ★

  1. Un tableau associe des valeurs xx à des valeurs yy : (x;y)=(5;1),(5;2),(9;3)(x ; y) = (5 ; 1), (5 ; 2), (9 ; 3). yy est-il une fonction de xx ?
    1. Non : la valeur 5 a deux images différentes
    2. Oui : chaque valeur a une image
    3. Oui : les images sont toutes différentes
  2. Un tableau associe des valeurs xx à des valeurs yy : (x;y)=(4;1),(4;2),(6;3)(x ; y) = (4 ; 1), (4 ; 2), (6 ; 3). yy est-il une fonction de xx ?
    1. Non : la valeur 4 a deux images différentes
    2. Oui : chaque valeur a une image
    3. Oui : les images sont toutes différentes
  1. Un tableau associe des valeurs xx à des valeurs yy : (x;y)=(1;5),(5;5),(9;5)(x ; y) = (1 ; 5), (5 ; 5), (9 ; 5). yy est-il une fonction de xx ?
    1. Oui : chaque valeur a une seule image
    2. Non : l'image 5 se répète
    3. Non : une fonction a besoin d'une formule

Attention !

Entraînement ★★

  1. Règle d'une fonction : multiplier par 6, puis ajouter 6. Quel antécédent a pour image 24 ?
  2. Règle d'une fonction : multiplier par 4, puis ajouter 9. Quel antécédent a pour image 21 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Un tableau associe des valeurs xx à des valeurs yy : (x;y)=(5;1),(5;2),(9;3)(x ; y) = (5 ; 1), (5 ; 2), (9 ; 3). yy est-il une fonction de xx ?
    1. Non : la valeur 5 a deux images différentes
    2. Oui : chaque valeur a une image
    3. Oui : les images sont toutes différentes
  2. Un tableau associe des valeurs xx à des valeurs yy : (x;y)=(4;1),(4;2),(6;3)(x ; y) = (4 ; 1), (4 ; 2), (6 ; 3). yy est-il une fonction de xx ?
    1. Non : la valeur 4 a deux images différentes
    2. Oui : chaque valeur a une image
    3. Oui : les images sont toutes différentes
  3. Un tableau associe des valeurs xx à des valeurs yy : (x;y)=(2;1),(2;2),(8;3)(x ; y) = (2 ; 1), (2 ; 2), (8 ; 3). yy est-il une fonction de xx ?
    1. Non : la valeur 2 a deux images différentes
    2. Oui : chaque valeur a une image
    3. Oui : les images sont toutes différentes

Fiche résumé

Fonctions

  • Une seule image pour chaque valeur.
  • Plusieurs antécédents possibles.

Attention : deux images pour une valeur : ce n'est pas une fonction.

2. Notation f(x) : calculer et lire une image

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

f(x)=x+5f(x) = x + 5 est une règle : elle prend un nombre et ajoute 5. Que signifie f(2)f(2) ?

  1. L'image de 2 : 77
  2. ff multiplié par 2

L'idée clé

On note f(x)f(x) l'image de xx par ff.

f(a)f(a) est l'image de aa par ff. On remplace chaque xx par (a)(a), avec des parenthèses. Si f(a)=bf(a) = b, aa est un antécédent de bb. Sur la courbe, f(a)f(a) est l'ordonnée du point d'abscisse aa.

Exemple corrigé

f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x. Calcule f(−2)f(-2).

f(−2)=3(−2)2−(−2)f(-2) = 3(-2)^2 - (-2)
On remplace chaque x par (−2).
=3×4+2= 3 \times 4 + 2
(−2)² = 4, et soustraire −2 ajoute 2.
=14= 14
On calcule.

À toi, guidé

À toi : f(x)=2x2+1f(x) = 2x^2 + 1.

f(−3)=2(−3)2+1f(-3) = 2(-3)^2 + 1
On remplace x par (−3).
f(−3)=19f(-3) = 19
(−3)² = 9, puis 2 × 9 + 1.

Entraînement ★

  1. f(x)=2x2+3f(x) = 2x^2 + 3. Calcule f(−3)f(-3).
  2. f(x)=4x2+8f(x) = 4x^2 + 8. Calcule f(−2)f(-2).
  3. f(x)=4x2+2f(x) = 4x^2 + 2. Calcule f(−5)f(-5).
  4. f(x)=5x2+5f(x) = 5x^2 + 5. Calcule f(−4)f(-4).
  5. f(x)=3x2+3f(x) = 3x^2 + 3. Calcule f(−4)f(-4).

Attention !

Entraînement ★★

  1. f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3. Calcule f(2+3)f(2 + 3).
  2. f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2. Calcule f(4+4)f(4 + 4).
  3. f(x)=x2+7f(x) = x^2 + 7. Calcule f(4+1)f(4 + 1).
  4. f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3. Calcule f(3+3)f(3 + 3).
  1. Voici la courbe de y=f(x)y = f(x). Touche le point de la courbe qui montre f(2)f(2).
  2. Voici la courbe de y=f(x)y = f(x). Touche le point de la courbe qui montre f(2)f(2).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3. Calcule f(2+3)f(2 + 3).
  2. f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2. Calcule f(4+4)f(4 + 4).
  3. f(x)=x2+7f(x) = x^2 + 7. Calcule f(4+1)f(4 + 1).

Fiche résumé

Image et antécédent

  • f(a)f(a) est l'image de aa.
  • Remplace xx par (a)(a), avec des parenthèses.

Attention : f(a+b)f(a + b) n'est pas f(a)+f(b)f(a) + f(b).

3. Ensemble de définition et ensemble des images

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quels nombres peut-on mettre dans f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ?

  1. Les nombres positifs ou nuls
  2. Tous les réels

L'idée clé

L'ensemble de définition contient les valeurs autorisées pour xx.

On exclut tout xx qui annule un dénominateur ou rend négatif ce qui est sous une racine carrée. Un crochet tourné vers le nombre l'inclut : [2;+∞[[2 ; +\infty[ contient 2 ; ]2;+∞[]2 ; +\infty[ ne le contient pas.

Exemple corrigé

Trouve l'ensemble de définition de f(x)=x+2f(x) = \sqrt{x + 2}.

x+2≥0x + 2 \geq 0
L'intérieur d'une racine doit être positif ou nul.
x≥−2x \geq -2
On soustrait 2.
[−2;+∞[[-2 ; +\infty[
−2 est permis, car √0 = 0.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x−5f(x) = \sqrt{x - 5}.

x−5≥0x - 5 \geq 0
L'intérieur doit être positif ou nul.
[5;+∞[[5 ; +\infty[
On ajoute 5 : l'ensemble commence à ce nombre.

Entraînement ★

  1. Quel est l'ensemble de définition de f(x)=x−9f(x) = \sqrt{x - 9} ? Donne-le sous forme d'intervalle.
  2. Quel est l'ensemble de définition de f(x)=x−5f(x) = \sqrt{x - 5} ? Donne-le sous forme d'intervalle.
  3. Quel est l'ensemble de définition de f(x)=x−6f(x) = \sqrt{x - 6} ? Donne-le sous forme d'intervalle.
  4. Quel est l'ensemble de définition de f(x)=x−4f(x) = \sqrt{x - 4} ? Donne-le sous forme d'intervalle.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quel est l'ensemble de définition de f(x)=9x−6f(x) = \dfrac{ 9 }{x - 6} ? Donne-le sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.
  2. Quel est l'ensemble de définition de f(x)=6x−5f(x) = \dfrac{ 6 }{x - 5} ? Donne-le sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.
  3. Quel est l'ensemble de définition de f(x)=4x−3f(x) = \dfrac{ 4 }{x - 3} ? Donne-le sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.
  1. Quel est l'ensemble des valeurs prises par f(x)=(x−5)2+9f(x) = (x - 5)^2 + 9 ? Donne-le sous forme d'intervalle.
  2. Quel est l'ensemble des valeurs prises par f(x)=(x−3)2+6f(x) = (x - 3)^2 + 6 ? Donne-le sous forme d'intervalle.
  3. Quel est l'ensemble des valeurs prises par f(x)=(x−5)2+4f(x) = (x - 5)^2 + 4 ? Donne-le sous forme d'intervalle.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quel est l'ensemble des valeurs prises par f(x)=(x−5)2+9f(x) = (x - 5)^2 + 9 ? Donne-le sous forme d'intervalle.
  2. Quel est l'ensemble des valeurs prises par f(x)=(x−3)2+6f(x) = (x - 3)^2 + 6 ? Donne-le sous forme d'intervalle.
  3. Quel est l'ensemble des valeurs prises par f(x)=(x−5)2+4f(x) = (x - 5)^2 + 4 ? Donne-le sous forme d'intervalle.

Fiche résumé

Ensemble de définition

  • Pas de dénominateur nul, pas de négatif sous une racine.
  • [a;+∞[[a ; +\infty[ inclut aa ; ]a;+∞[]a ; +\infty[ non.

Attention : les valeurs prises se lisent sur l'axe des ordonnées.

4. Fonctions de référence

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Pour f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}, quelle valeur est interdite ?

  1. 00
  2. 11

L'idée clé

Les fonctions de référence servent à résoudre graphiquement.

Carré : parabole, paire, décroissante sur ]−∞;0]]-\infty ; 0], croissante sur [0;+∞[[0 ; +\infty[. Inverse : hyperbole, définie sur R∗\mathbb{R}^*, décroissante sur chaque intervalle.

Racine carrée : définie et croissante sur [0;+∞[[0 ; +\infty[. Cube : croissante sur R\mathbb{R}. Valeur absolue : ∣x∣|x|, forme de V.

Exemple corrigé

Compare (−3)2(-3)^2 et (−2)2(-2)^2.

−3<−2-3 < -2 donne 9>49 > 4
La fonction carré décroît sur ]−∞ ; 0].

À toi, guidé

À toi : que vaut f(4)f(4) pour f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ?

22
√4.

Entraînement ★

  1. Calcule f(−3)f(-3) pour f(x)=x3f(x) = x^3.
  2. Calcule f(−4)f(-4) pour f(x)=x3f(x) = x^3.
  3. Calcule f(−6)f(-6) pour f(x)=x3f(x) = x^3.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Compare 3\sqrt{ 3 } et 9\sqrt{ 9 }.
    1. 3<9\sqrt{ 3 } < \sqrt{ 9 }
    2. 3>9\sqrt{ 3 } > \sqrt{ 9 }
    3. 3=9\sqrt{ 3 } = \sqrt{ 9 }
  2. Compare 2\sqrt{ 2 } et 8\sqrt{ 8 }.
    1. 2<8\sqrt{ 2 } < \sqrt{ 8 }
    2. 2>8\sqrt{ 2 } > \sqrt{ 8 }
    3. 2=8\sqrt{ 2 } = \sqrt{ 8 }
  1. Calcule f(6)f(6) pour f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}.
  1. Sur ]−∞;0]]-\infty ; 0], comment varie x↦x2x \mapsto x^2 ?
    1. Elle est décroissante
    2. Elle est croissante
    3. Elle est constante

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule f(−3)f(-3) pour f(x)=x3f(x) = x^3.
  2. Calcule f(−4)f(-4) pour f(x)=x3f(x) = x^3.
  3. Calcule f(−6)f(-6) pour f(x)=x3f(x) = x^3.

Fiche résumé

Fonctions de référence

  • Carré, inverse, racine, cube, valeur absolue.
  • Connaître variations et courbes.

Attention : l'inverse décroît sur chaque intervalle.

5. Résoudre f(x) = k et f(x) < k

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Graphiquement, comment résoudre f(x)=3f(x) = 3 ?

  1. Lire les abscisses des points de la courbe d'ordonnée 3
  2. Lire f(3)f(3)

L'idée clé

Résoudre revient à chercher des antécédents.

f(x)=kf(x) = k : abscisses des points de la courbe sur la droite y=ky = k. f(x)<kf(x) < k : abscisses des points sous cette droite. f(x)=g(x)f(x) = g(x) : abscisses des points d'intersection des deux courbes.

Exemple corrigé

Résous x2=9x^2 = 9.

Deux points d'intersection.
Droite y = 9.
x=−3x = -3 ou x=3x = 3
Abscisses.

À toi, guidé

À toi : résous 2x+1=72x + 1 = 7.

x=3x = 3
2x = 6.

Entraînement ★

  1. Résous 4x+8=164x + 8 = 16.
  2. Résous 6x+8=146x + 8 = 14.
  3. Résous 3x+3=213x + 3 = 21.

Attention !

Entraînement ★★

  1. L'ensemble des solutions de x2<81x^2 < 81 est ]−m;m[]-m ; m[. Que vaut mm ?
  2. L'ensemble des solutions de x2<9x^2 < 9 est ]−m;m[]-m ; m[. Que vaut mm ?
  1. Problème final. On étudie f(x)=x2f(x) = x^2 et g(x)=2xg(x) = 2x.
  1. Combien d'antécédents 2525 a-t-il par x↦x2x \mapsto x^2 ?
    1. Deux
    2. Un
    3. Aucun
  1. La courbe de ff passe par (1;4)(1 ; 4). Quelle est l'image de 1 par ff ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous 4x+8=164x + 8 = 16.
  2. Résous 6x+8=146x + 8 = 14.
  3. Résous 3x+3=213x + 3 = 21.

Fiche résumé

Équations et inéquations

  • Antécédents sur le graphique.
  • f(x)<kf(x) < k : sous la droite.

Attention : pense aux deux solutions d'un carré.

Corrigé: Fonctions

1. Qu'est-ce qu'une fonction : une image pour chaque antécédent

A

  1. Non : la valeur 5 a deux images différentes
  2. Non : la valeur 4 a deux images différentes

B

  1. Oui : chaque valeur a une seule image

C

  1. 33
  2. 33

D

  1. Non : la valeur 5 a deux images différentes
  2. Non : la valeur 4 a deux images différentes
  3. Non : la valeur 2 a deux images différentes

2. Notation f(x) : calculer et lire une image

A

  1. 2121
  2. 2424
  3. 102102
  4. 8585
  5. 5151

B

  1. 2828
  2. 6666
  3. 3232
  4. 3939

C

  1. (2,−1)(2, -1)
  2. (2,3)(2, 3)

D

  1. 2828
  2. 6666
  3. 3232

3. Ensemble de définition et ensemble des images

A

  1. [9 ; +∞[[9\,;\,+\infty[
  2. [5 ; +∞[[5\,;\,+\infty[
  3. [6 ; +∞[[6\,;\,+\infty[
  4. [4 ; +∞[[4\,;\,+\infty[

B

  1. ]−∞ ; 6[∪]6 ; +∞[]-\infty\,;\,6[ \cup ]6\,;\,+\infty[
  2. ]−∞ ; 5[∪]5 ; +∞[]-\infty\,;\,5[ \cup ]5\,;\,+\infty[
  3. ]−∞ ; 3[∪]3 ; +∞[]-\infty\,;\,3[ \cup ]3\,;\,+\infty[

C

  1. [9 ; +∞[[9\,;\,+\infty[
  2. [6 ; +∞[[6\,;\,+\infty[
  3. [4 ; +∞[[4\,;\,+\infty[

D

  1. [9 ; +∞[[9\,;\,+\infty[
  2. [6 ; +∞[[6\,;\,+\infty[
  3. [4 ; +∞[[4\,;\,+\infty[

4. Fonctions de référence

A

  1. −27-27
  2. −64-64
  3. −216-216

B

  1. 3<9\sqrt{ 3 } < \sqrt{ 9 }
  2. 2<8\sqrt{ 2 } < \sqrt{ 8 }

C

  1. 16\frac{1}{6}

D

  1. Elle est décroissante

E

  1. −27-27
  2. −64-64
  3. −216-216

5. Résoudre f(x) = k et f(x) < k

A

  1. 22
  2. 11
  3. 66

B

  1. 99
  2. 33

C

  1. −1-1

D

  1. Deux

E

  1. 44

F

  1. 22
  2. 11
  3. 66