Décimaux, rationnels, irrationnels ; encadrements

À propos de cette leçon

Seconde › Nombres et ensembles

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Décimaux, rationnels, irrationnels ; encadrements

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Lequel de ces nombres est irrationnel ?

  1. 2\sqrt{2}
  2. 13\dfrac{1}{3}

L'idée clé

Les ensembles s'emboîtent.

N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. Un décimal s'écrit a10n\dfrac{a}{10^n} ; un rationnel s'écrit ab\dfrac{a}{b}. 2\sqrt{2} et π\pi sont irrationnels.

Un encadrement à 10−n10^{-n} près donne deux décimaux d'écart 10−n10^{-n} autour du nombre.

Exemple corrigé

Encadre 2\sqrt{2} à 10−210^{-2} près.

1,41<2<1,421{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42
1,41² = 1,9881 et 1,42² = 2,0164.

À toi, guidé

À toi : quel est l'arrondi de 3,141593{,}14159 à l'unité ?

33
Le chiffre suivant est 1.

Entraînement ★

  1. À quel plus petit ensemble appartient 64\dfrac{ 6 }{4} ?
    1. D\mathbb{D}
    2. Z\mathbb{Z}
    3. R\mathbb{R} uniquement
  2. À quel plus petit ensemble appartient 34\dfrac{ 3 }{4} ?
    1. D\mathbb{D}
    2. Z\mathbb{Z}
    3. R\mathbb{R} uniquement
  3. À quel plus petit ensemble appartient 74\dfrac{ 7 }{4} ?
    1. D\mathbb{D}
    2. Z\mathbb{Z}
    3. R\mathbb{R} uniquement

Attention !

Entraînement ★★

  1. On cherche l'entier aa tel que a≤37<a+1a \leq \sqrt{ 37 } < a + 1. Que vaut aa ?
  2. On cherche l'entier aa tel que a≤10<a+1a \leq \sqrt{ 10 } < a + 1. Que vaut aa ?
  1. Problème final. On étudie les nombres xx tels que ∣x−6∣<5|x - 6| < 5.
  1. Lequel de ces nombres est irrationnel ?
    1. 2\sqrt{2}
    2. 13\dfrac{1}{3}
    3. 9\sqrt{9}
  1. 0,250{,}25 est-il un nombre rationnel ?
    1. Oui : 0,25=140{,}25 = \dfrac{1}{4}
    2. Non : il a une virgule
    3. Non : seuls les entiers sont rationnels

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. À quel plus petit ensemble appartient 64\dfrac{ 6 }{4} ?
    1. D\mathbb{D}
    2. Z\mathbb{Z}
    3. R\mathbb{R} uniquement
  2. À quel plus petit ensemble appartient 34\dfrac{ 3 }{4} ?
    1. D\mathbb{D}
    2. Z\mathbb{Z}
    3. R\mathbb{R} uniquement
  3. À quel plus petit ensemble appartient 74\dfrac{ 7 }{4} ?
    1. D\mathbb{D}
    2. Z\mathbb{Z}
    3. R\mathbb{R} uniquement

Fiche résumé

Ensembles de nombres

  • D⊂Q⊂R\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.
  • 2\sqrt{2} et π\pi sont irrationnels.

Attention : illimité ne veut pas dire irrationnel.

Fin de la leçon

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Corrigé: Décimaux, rationnels, irrationnels ; encadrements

A

  1. D\mathbb{D}
  2. D\mathbb{D}
  3. D\mathbb{D}

B

  1. 66
  2. 33

C

  1. 1010

D

  1. 2\sqrt{2}

E

  1. Oui : 0,25=140{,}25 = \dfrac{1}{4}

F

  1. D\mathbb{D}
  2. D\mathbb{D}
  3. D\mathbb{D}

CC BY-SA 4.0