Nombres et ensembles

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Entiers, multiples, diviseurs et parité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

15 est-il un multiple de 5 ?

  1. Oui : 15=5×315 = 5 \times 3
  2. Non : c'est 5 qui est multiple de 15

L'idée clé

N\mathbb{N} contient les entiers naturels, Z\mathbb{Z} les entiers relatifs.

aa est multiple de bb, et bb diviseur de aa, s'il existe un entier kk tel que a=kba = kb.

nn est pair si n=2kn = 2k, impair si n=2k+1n = 2k + 1. Une fraction est irréductible si seul 1 divise à la fois son numérateur et son dénominateur.

Exemple corrigé

Montre que la somme de deux nombres pairs est paire.

2k+2k′=2(k+k′)2k + 2k' = 2(k + k')
On écrit.
La somme est paire.
C'est un multiple de 2.

À toi, guidé

À toi : simplifie 1824\dfrac{18}{24} : quel est le numérateur de la fraction irréductible ?

33
Diviser par 6.

Entraînement ★

  1. Écris 1435\dfrac{ 14 }{ 35 } sous forme irréductible. Donne le dénominateur.
  2. Écris 2025\dfrac{ 20 }{ 25 } sous forme irréductible. Donne le dénominateur.
  3. Écris 3240\dfrac{ 32 }{ 40 } sous forme irréductible. Donne le dénominateur.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Pour tout entier nn, que dire de 2n+72n + 7 ?
    1. Il est impair
    2. Il est pair
    3. Cela dépend de nn
  2. Pour tout entier nn, que dire de 2n+132n + 13 ?
    1. Il est impair
    2. Il est pair
    3. Cela dépend de nn
  1. Quel est le 77-ième multiple positif de 6 ?
  1. Lequel de ces nombres est un diviseur de 5454 ?
    1. 99
    2. 108108
    3. 5555

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Écris 1435\dfrac{ 14 }{ 35 } sous forme irréductible. Donne le dénominateur.
  2. Écris 2025\dfrac{ 20 }{ 25 } sous forme irréductible. Donne le dénominateur.
  3. Écris 3240\dfrac{ 32 }{ 40 } sous forme irréductible. Donne le dénominateur.

Fiche résumé

Entiers

  • a=kba = kb.
  • Pair : 2k2k. Impair : 2k+12k + 1.

Attention : multiple et diviseur vont dans deux sens différents.

2. Réels, intervalles et valeur absolue

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quels nombres appartiennent à [2;5[[2 ; 5[ ?

  1. 2 et 4
  2. 3 et 5

L'idée clé

Un intervalle se lit sur la droite des réels.

Figure non à l'échelle

[a;b][a ; b] inclut ses bornes ; ]a;b[]a ; b[ les exclut. Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert : [a;+∞[[a ; +\infty[.

∣a∣|a| est la distance de aa à 0, ∣a−b∣|a - b| la distance entre aa et bb. ∣x−a∣≤r  ⟺  x∈[a−r;a+r]|x - a| \leq r \iff x \in [a - r ; a + r].

Exemple corrigé

Résous ∣x−3∣≤2|x - 3| \leq 2.

x∈[3−2;3+2]x \in [3 - 2 ; 3 + 2]
Distance à 3.
[1;5][1 ; 5]
On calcule.

À toi, guidé

À toi : que vaut ∣3−7∣|3 - 7| ?

44
Distance.

Entraînement ★

  1. L'ensemble des solutions de ∣x−2∣≤1|x - 2| \leq 1 est [m;M][m ; M]. Que vaut MM ?
  2. L'ensemble des solutions de ∣x−8∣≤2|x - 8| \leq 2 est [m;M][m ; M]. Que vaut MM ?
  3. L'ensemble des solutions de ∣x−3∣≤1|x - 3| \leq 1 est [m;M][m ; M]. Que vaut MM ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Lequel de ces nombres appartient à ]3;8]]3 ; 8] ?
    1. 88
    2. 33
    3. 99
  2. Lequel de ces nombres appartient à ]4;7]]4 ; 7] ?
    1. 77
    2. 44
    3. 88
  1. Le nombre 55 appartient-il à l'intervalle ]5;11]]5 ; 11] ?
    1. Non : le crochet est ouvert en 55
    2. Oui : c'est une borne
    3. Oui : 55 est plus petit que 1111
  1. Calcule ∣−8∣|-8|.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. L'ensemble des solutions de ∣x−2∣≤1|x - 2| \leq 1 est [m;M][m ; M]. Que vaut MM ?
  2. L'ensemble des solutions de ∣x−8∣≤2|x - 8| \leq 2 est [m;M][m ; M]. Que vaut MM ?
  3. L'ensemble des solutions de ∣x−3∣≤1|x - 3| \leq 1 est [m;M][m ; M]. Que vaut MM ?

Fiche résumé

Intervalles

  • [a;b][a ; b] inclut les bornes.
  • ∣x−a∣≤r  ⟺  x∈[a−r;a+r]|x - a| \leq r \iff x \in [a - r ; a + r].

Attention : l'infini est toujours ouvert.

3. Décimaux, rationnels, irrationnels ; encadrements

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Lequel de ces nombres est irrationnel ?

  1. 2\sqrt{2}
  2. 13\dfrac{1}{3}

L'idée clé

Les ensembles s'emboîtent.

N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. Un décimal s'écrit a10n\dfrac{a}{10^n} ; un rationnel s'écrit ab\dfrac{a}{b}. 2\sqrt{2} et π\pi sont irrationnels.

Un encadrement à 10−n10^{-n} près donne deux décimaux d'écart 10−n10^{-n} autour du nombre.

Exemple corrigé

Encadre 2\sqrt{2} à 10−210^{-2} près.

1,41<2<1,421{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42
1,41² = 1,9881 et 1,42² = 2,0164.

À toi, guidé

À toi : quel est l'arrondi de 3,141593{,}14159 à l'unité ?

33
Le chiffre suivant est 1.

Entraînement ★

  1. À quel plus petit ensemble appartient 64\dfrac{ 6 }{4} ?
    1. D\mathbb{D}
    2. Z\mathbb{Z}
    3. R\mathbb{R} uniquement
  2. À quel plus petit ensemble appartient 34\dfrac{ 3 }{4} ?
    1. D\mathbb{D}
    2. Z\mathbb{Z}
    3. R\mathbb{R} uniquement
  3. À quel plus petit ensemble appartient 74\dfrac{ 7 }{4} ?
    1. D\mathbb{D}
    2. Z\mathbb{Z}
    3. R\mathbb{R} uniquement

Attention !

Entraînement ★★

  1. On cherche l'entier aa tel que a≤37<a+1a \leq \sqrt{ 37 } < a + 1. Que vaut aa ?
  2. On cherche l'entier aa tel que a≤10<a+1a \leq \sqrt{ 10 } < a + 1. Que vaut aa ?
  1. Problème final. On étudie les nombres xx tels que ∣x−6∣<5|x - 6| < 5.
  1. Lequel de ces nombres est irrationnel ?
    1. 2\sqrt{2}
    2. 13\dfrac{1}{3}
    3. 9\sqrt{9}
  1. 0,250{,}25 est-il un nombre rationnel ?
    1. Oui : 0,25=140{,}25 = \dfrac{1}{4}
    2. Non : il a une virgule
    3. Non : seuls les entiers sont rationnels

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. À quel plus petit ensemble appartient 64\dfrac{ 6 }{4} ?
    1. D\mathbb{D}
    2. Z\mathbb{Z}
    3. R\mathbb{R} uniquement
  2. À quel plus petit ensemble appartient 34\dfrac{ 3 }{4} ?
    1. D\mathbb{D}
    2. Z\mathbb{Z}
    3. R\mathbb{R} uniquement
  3. À quel plus petit ensemble appartient 74\dfrac{ 7 }{4} ?
    1. D\mathbb{D}
    2. Z\mathbb{Z}
    3. R\mathbb{R} uniquement

Fiche résumé

Ensembles de nombres

  • D⊂Q⊂R\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.
  • 2\sqrt{2} et π\pi sont irrationnels.

Attention : illimité ne veut pas dire irrationnel.

Corrigé: Nombres et ensembles

1. Entiers, multiples, diviseurs et parité

A

  1. 55
  2. 55
  3. 55

B

  1. Il est impair
  2. Il est impair

C

  1. 4242

D

  1. 99

E

  1. 55
  2. 55
  3. 55

2. Réels, intervalles et valeur absolue

A

  1. 33
  2. 1010
  3. 44

B

  1. 88
  2. 77

C

  1. Non : le crochet est ouvert en 55

D

  1. 88

E

  1. 33
  2. 1010
  3. 44

3. Décimaux, rationnels, irrationnels ; encadrements

A

  1. D\mathbb{D}
  2. D\mathbb{D}
  3. D\mathbb{D}

B

  1. 66
  2. 33

C

  1. 1010

D

  1. 2\sqrt{2}

E

  1. Oui : 0,25=140{,}25 = \dfrac{1}{4}

F

  1. D\mathbb{D}
  2. D\mathbb{D}
  3. D\mathbb{D}