Probabilités et échantillonnage

Imprimer le chapitre

Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Pour obtenir un PDF, choisis « Enregistrer au format PDF » dans la fenêtre d'impression.

1. Probabilité en cas d'équiprobabilité ; événement contraire

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On lance deux dés. Les sommes vont de 2 à 12 : onze valeurs. Chaque somme a-t-elle la même probabilité, 111\dfrac{1}{11} ?

  1. Non
  2. Oui

Lance deux dés 1 000 fois. Quelle somme revient le plus souvent ?

  1. 7
  2. Toutes les sommes reviennent à peu près autant

L'idée clé

Équiprobabilité et événement contraire.

Si toutes les issues sont équiprobables : P(A)=nombre d’issues de Anombre total d’issuesP(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre total d'issues}}. On a toujours 0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1, et P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).

Exemple corrigé

Au moins un pile en 3 lancers.

P(aucun pile)=18P(\text{aucun pile}) = \dfrac{1}{8}
8 suites équiprobables.
P(au moins un pile)=1−18P(\text{au moins un pile}) = 1 - \dfrac{1}{8}
Événement contraire.
=78= \dfrac{7}{8}
On calcule.

À toi, guidé

À toi : quelle est la probabilité que la somme de deux dés vaille 7 ?

16\dfrac{1}{6}
6 couples sur 36.

Entraînement ★

  1. On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité que la somme vaille 2.
  2. On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité que la somme vaille 12.
  1. La probabilité qu'un vol soit en retard est 0,780{,}78. Calcule la probabilité qu'il ne soit pas en retard.

Attention !

Entraînement ★★

  1. On lance 2 fois un dé équilibré. Calcule la probabilité d'obtenir au moins un six.
  2. On lance 6 fois un dé équilibré. Calcule la probabilité d'obtenir au moins un six.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité que la somme vaille 2.
  2. On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité que la somme vaille 12.
  3. On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité que la somme vaille 8.

Fiche résumé

Probabilités

  • Équiprobabilité : favorables ÷ total.
  • P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A) ; « au moins un » passe par le contraire.

Attention : vérifie que les issues sont vraiment équiprobables.

2. Réunion, intersection et contraire

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On tire une carte : AA « cœur », BB « roi ». Que signifie A∩BA \cap B ?

  1. « Le roi de cœur »
  2. « Un cœur ou un roi »

L'idée clé

Deux événements peuvent se chevaucher.

Figure non à l'échelle

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Si AA et BB sont incompatibles, P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0.

Exemple corrigé

Jeu de 32 cartes : cœur ou roi.

832+432−132\dfrac{8}{32} + \dfrac{4}{32} - \dfrac{1}{32}
Probabilités.
1132\dfrac{11}{32}
On calcule.

À toi, guidé

À toi : P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B)=0,3P(B) = 0{,}3, P(A∩B)=0,1P(A \cap B) = 0{,}1. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).

0,70{,}7
0,5 + 0,3 − 0,1.

Entraînement ★

  1. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=410P(B) = \dfrac{ 4 }{10} et P(A∩B)=210P(A \cap B) = \dfrac{ 2 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  2. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  3. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).

Attention !

Entraînement ★★

  1. AA et BB sont incompatibles, P(A)=210P(A) = \dfrac{ 2 }{10} et P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  2. AA et BB sont incompatibles, P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10} et P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  1. Problème final. P(A)=410P(A) = \dfrac{ 4 }{10}, P(B)=210P(B) = \dfrac{ 2 }{10} et P(A∩B)=210P(A \cap B) = \dfrac{ 2 }{10}.
  1. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∪B)=710P(A \cup B) = \dfrac{ 7 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).
  1. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}. Calcule P(Aˉ)P(\bar{A}).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=410P(B) = \dfrac{ 4 }{10} et P(A∩B)=210P(A \cap B) = \dfrac{ 2 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  2. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  3. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).

Fiche résumé

Réunion

  • P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
  • Incompatibles : intersection vide.

Attention : n'oublie pas la soustraction.

3. Échantillonnage et fluctuation

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On lance 100 fois une pièce équilibrée. Obtient-on toujours exactement 50 piles ?

  1. Non, cela varie
  2. Oui

L'idée clé

La fréquence observée varie d'un échantillon à l'autre.

Un échantillon de taille nn est le résultat de nn répétitions. La fréquence observée fluctue autour de la probabilité pp.

Pour nn grand, la proportion d'échantillons dont la fréquence est dans [p−1n;p+1n]\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] est d'environ 95 %.

Exemple corrigé

n=400n = 400, p=0,5p = 0{,}5.

[0,45;0,55][0{,}45 ; 0{,}55]
1/√400 = 0,05.

À toi, guidé

À toi : pour n=100n = 100, que vaut 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}} ?

0,10{,}1
1/10.

Entraînement ★

  1. Pour un échantillon de taille n=25n = 25, calcule 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
  2. Pour un échantillon de taille n=289n = 289, calcule 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
  3. Pour un échantillon de taille n=16n = 16, calcule 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Si on multiplie la taille d'un échantillon par 25, la fluctuation est :
    1. divisée par 5
    2. multipliée par 5
    3. inchangée
  2. Si on multiplie la taille d'un échantillon par 36, la fluctuation est :
    1. divisée par 6
    2. multipliée par 6
    3. inchangée
  1. Sur 70 lancers, on obtient 14 fois « pile ». Quelle est la fréquence observée, en pourcentage ?
  1. On lance 100 fois une pièce équilibrée. Obtiendra-t-on toujours exactement 50 piles ?
    1. Non : la fréquence fluctue autour de 0,5
    2. Oui : la probabilité vaut 0,5
    3. Oui, si la pièce est équilibrée

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour un échantillon de taille n=25n = 25, calcule 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
  2. Pour un échantillon de taille n=289n = 289, calcule 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
  3. Pour un échantillon de taille n=16n = 16, calcule 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}.

Fiche résumé

Fluctuation

  • Fréquence proche de pp, mais variable.
  • 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}} : amplitude typique.

Attention : plus nn est grand, moins ça fluctue.

Corrigé: Probabilités et échantillonnage

1. Probabilité en cas d'équiprobabilité ; événement contraire

A

  1. 136\frac{1}{36}
  2. 136\frac{1}{36}

B

  1. 1150\frac{11}{50}

C

  1. 1136\frac{11}{36}
  2. 3103146656\frac{31031}{46656}

D

  1. 136\frac{1}{36}
  2. 136\frac{1}{36}
  3. 536\frac{5}{36}

2. Réunion, intersection et contraire

A

  1. 710\frac{7}{10}
  2. 710\frac{7}{10}
  3. 12\frac{1}{2}

B

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 35\frac{3}{5}

C

  1. 35\frac{3}{5}

D

  1. 110\frac{1}{10}

E

  1. 710\frac{7}{10}

F

  1. 710\frac{7}{10}
  2. 710\frac{7}{10}
  3. 12\frac{1}{2}

3. Échantillonnage et fluctuation

A

  1. 15\frac{1}{5}
  2. 117\frac{1}{17}
  3. 14\frac{1}{4}

B

  1. divisée par 5
  2. divisée par 6

C

  1. 2020

D

  1. Non : la fréquence fluctue autour de 0,5

E

  1. 15\frac{1}{5}
  2. 117\frac{1}{17}
  3. 14\frac{1}{4}