Proportions, évolutions et statistique

Imprimer le chapitre

Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Pour obtenir un PDF, choisis « Enregistrer au format PDF » dans la fenêtre d'impression.

1. Augmentations et diminutions en pourcentage : taxes, pourboires, remises

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un manteau à 60 € est soldé à −10 %. Combien paies-tu ?

  1. 54 €
  2. 50 €

L'idée clé

Augmenter : on ajoute. Diminuer : on retire, toujours un pourcentage de la valeur de départ.

Augmenter de t %t\,\% revient à multiplier par 1+t1001 + \dfrac{t}{100} ; diminuer de t %t\,\% à multiplier par 1−t1001 - \dfrac{t}{100}. Taux d'évolution = variation ÷ valeur de départ.

Exemple corrigé

Un prix passe de 40 € à 46 €.

66
Variation.
0,150{,}15 : une hausse de 15 %
6 ÷ 40.

À toi, guidé

À toi : 80 € plus 5 % de taxe. Quel est le total ?

8484
80 × 1,05.

Entraînement ★

  1. Le prix d'un blouson à 160 € augmente de 40 %. Quel est son nouveau prix (en euros) ?
  2. Le prix d'un blouson à 300 € augmente de 20 %. Quel est son nouveau prix (en euros) ?
  1. Un jeu à 320 € est soldé à −35 %-35\,\%. Quel est son prix soldé (en euros) ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Une ville passe de 280 à 518 habitants. De quel pourcentage a-t-elle grandi ?
  2. Une ville passe de 260 à 468 habitants. De quel pourcentage a-t-elle grandi ?
  1. Problème final. Un repas coûte 120 €. Une taxe de 10 % s'applique et tu laisses un pourboire de 20 % sur le prix hors taxe.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Le prix d'un blouson à 160 € augmente de 40 %. Quel est son nouveau prix (en euros) ?
  2. Le prix d'un blouson à 300 € augmente de 20 %. Quel est son nouveau prix (en euros) ?
  3. Le prix d'un blouson à 60 € augmente de 60 %. Quel est son nouveau prix (en euros) ?

Fiche résumé

Évolutions

  • Valeur finale = valeur de départ × coefficient.
  • Taux = variation ÷ départ.

Attention : la base est la valeur de départ.

2. Proportions et évolutions successives

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un prix augmente de 10 %, puis baisse de 10 %. Revient-il au prix de départ ?

  1. Non, il est un peu plus bas
  2. Oui

L'idée clé

Les évolutions successives se multiplient.

Une proportion est partietout\dfrac{\text{partie}}{\text{tout}}. Partie = proportion × tout.

Des évolutions successives se traduisent par des produits de coefficients multiplicateurs. Pour revenir au départ, on divise par le coefficient (évolution réciproque).

Exemple corrigé

Hausse de 25 %, quelle baisse pour revenir au départ ?

1,251{,}25
Coefficient.
11,25=0,8\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8
Réciproque.
20 %20\,\%
Baisse.

À toi, guidé

À toi : 30 % de 200 ?

6060
0,3 × 200.

Entraînement ★

  1. Calcule le coefficient multiplicateur global d'une hausse de 15 % suivie d'une hausse de 5 %.
  2. Calcule le coefficient multiplicateur global d'une hausse de 25 % suivie d'une hausse de 5 %.
  3. Calcule le coefficient multiplicateur global d'une hausse de 20 % suivie d'une hausse de 45 %.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Dans un groupe de 80 personnes, 56 ont un vélo. Quelle est la proportion, en pourcentage ?
  2. Dans un groupe de 20 personnes, 14 ont un vélo. Quelle est la proportion, en pourcentage ?
  1. Problème final. Un prix de 100 € monte de 75 %.
  1. Dans un groupe de 70 personnes, 60 % ont un vélo. Combien de personnes ont un vélo ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule le coefficient multiplicateur global d'une hausse de 15 % suivie d'une hausse de 5 %.
  2. Calcule le coefficient multiplicateur global d'une hausse de 25 % suivie d'une hausse de 5 %.
  3. Calcule le coefficient multiplicateur global d'une hausse de 20 % suivie d'une hausse de 45 %.

Fiche résumé

Évolutions successives

  • On multiplie les coefficients.
  • Réciproque : on divise.

Attention : les taux ne s'additionnent pas.

3. Moyenne, médiane et quartiles

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On a les notes 8, 10, 15. Quelle est la moyenne ?

  1. 1111
  2. 1010

L'idée clé

Trois indicateurs de position.

Figure non à l'échelle

La moyenne xˉ=∑nixiN\bar{x} = \dfrac{\sum n_ix_i}{N} pondère par les effectifs. La médiane partage la série triée en deux parts égales.

Q1Q_1 est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales ; Q3Q_3, de même avec 75 %.

Exemple corrigé

Série triée : 2, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 15.

Médiane =7+82=7,5= \dfrac{7 + 8}{2} = 7{,}5
N = 8, entre 4e et 5e.
Q1=4Q_1 = 4
8 × 0,25 = 2.
Q3=9Q_3 = 9
8 × 0,75 = 6.

À toi, guidé

À toi : moyenne de 10 (effectif 3) et 20 (effectif 1) ?

12,512{,}5
50 ÷ 4.

Entraînement ★

  1. Une série a 4 fois la valeur 4 et une fois la valeur 13. Calcule sa moyenne.
  2. Une série a 3 fois la valeur 9 et une fois la valeur 13. Calcule sa moyenne.
  3. Une série a 2 fois la valeur 7 et une fois la valeur 11. Calcule sa moyenne.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la médiane de 1,3,51, 3, 5 ?
  2. Quelle est la médiane de 1,2,31, 2, 3 ?
  1. Calcule la moyenne de 77, 88, 99 et 1010.
  1. Quelle est la médiane de 88, 99, 1111 et 1212 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Une série a 4 fois la valeur 4 et une fois la valeur 13. Calcule sa moyenne.
  2. Une série a 3 fois la valeur 9 et une fois la valeur 13. Calcule sa moyenne.
  3. Une série a 2 fois la valeur 7 et une fois la valeur 11. Calcule sa moyenne.

Fiche résumé

Indicateurs

  • Moyenne pondérée.
  • Médiane, Q1Q_1, Q3Q_3 sur une série triée.

Attention : trie d'abord.

4. Écart type

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Deux séries ont la même moyenne. La première est très resserrée. Laquelle a le plus petit écart type ?

  1. La série resserrée
  2. La plus longue

L'idée clé

L'écart type mesure la dispersion.

Figure non à l'échelle

V=1N∑ni(xi−xˉ)2V = \dfrac{1}{N}\sum n_i(x_i - \bar{x})^2 et σ=V\sigma = \sqrt{V}.

Exemple corrigé

Série : 2, 4, 6.

Carrés : 4,0,44, 0, 4
Moyenne 4 ; écarts −2, 0, 2.
V=83V = \dfrac{8}{3}
On divise par 3.
σ≈1,63\sigma \approx 1{,}63
Racine.

À toi, guidé

À toi : si V=9V = 9, que vaut σ\sigma ?

33
√9.

Entraînement ★

  1. Calcule la variance de la série 7,117, 11.
  2. Calcule la variance de la série 3,113, 11.
  3. Calcule la variance de la série 3,93, 9.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Une série a pour variance 64. Quel est son écart type ?
  2. Une série a pour variance 25. Quel est son écart type ?
  1. Une série a pour écart type 2. On multiplie toutes ses valeurs par 2. Quel est le nouvel écart type ?
  1. Une série a pour écart type 5. On ajoute 6 à toutes ses valeurs. Quel est le nouvel écart type ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule la variance de la série 7,117, 11.
  2. Calcule la variance de la série 3,113, 11.
  3. Calcule la variance de la série 3,93, 9.

Fiche résumé

Écart type

  • VV : moyenne des carrés des écarts.
  • σ=V\sigma = \sqrt{V}.

Attention : n'oublie pas la racine.

Corrigé: Proportions, évolutions et statistique

1. Augmentations et diminutions en pourcentage : taxes, pourboires, remises

A

  1. 224224
  2. 360360

B

  1. 208208

C

  1. 8585
  2. 8080

D

  1. 156156

E

  1. 224224
  2. 360360
  3. 9696

2. Proportions et évolutions successives

A

  1. 483400\frac{483}{400}
  2. 2116\frac{21}{16}
  3. 8750\frac{87}{50}

B

  1. 7070
  2. 7070

C

  1. 47\frac{4}{7}

D

  1. 4242

E

  1. 483400\frac{483}{400}
  2. 2116\frac{21}{16}
  3. 8750\frac{87}{50}

3. Moyenne, médiane et quartiles

A

  1. 295\frac{29}{5}
  2. 1010
  3. 253\frac{25}{3}

B

  1. 33
  2. 22

C

  1. 172\frac{17}{2}

D

  1. 1010

E

  1. 295\frac{29}{5}
  2. 1010
  3. 253\frac{25}{3}

4. Écart type

A

  1. 44
  2. 1616
  3. 99

B

  1. 88
  2. 55

C

  1. 44

D

  1. 55

E

  1. 44
  2. 1616
  3. 99