Fonctions affines, signes et variations

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Fonctions affines : forme y = mx + b

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un taxi facture 3 € au départ et 2 € par kilomètre. Le prix est-il proportionnel à la distance ?

  1. Non : il y a 3 € à 0 km
  2. Oui : le prix augmente régulièrement

L'idée clé

Une fonction affine s'écrit f(x)=mx+pf(x) = mx + p.

mm est le coefficient directeur (taux d'accroissement), pp l'ordonnée à l'origine, la valeur en x=0x = 0. Si p=0p = 0, la fonction est linéaire. ff est croissante si m>0m > 0, décroissante si m<0m < 0.

Exemple corrigé

Trouve la droite passant par (0;4)(0 ; 4) et (3;10)(3 ; 10).

m=2m = 2
(10 − 4) ÷ 3.
p=4p = 4
Valeur en x = 0.
y=2x+4y = 2x + 4
Équation.

À toi, guidé

À toi : quelle est l'ordonnée à l'origine de y=7x−5y = 7x - 5 ?

−5-5
p.

Entraînement ★

  1. Une salle de sport demande 55 € d'inscription et 19 € par mois. Écris le coût total yy après xx mois.
  2. Une salle de sport demande 77 € d'inscription et 16 € par mois. Écris le coût total yy après xx mois.
  1. Quelle est l'équation de la droite horizontale passant par (5;1)(5 ; 1) ?
    1. y=1y = 1
    2. x=5x = 5
    3. y=5y = 5

Attention !

Entraînement ★★

  1. Une droite passe par (0;2)(0 ; 2) et (1;8)(1 ; 8). Écris son équation sous la forme y=mx+py = mx + p.
  2. Une droite passe par (0;2)(0 ; 2) et (2;12)(2 ; 12). Écris son équation sous la forme y=mx+py = mx + p.
  1. Problème final. Une bougie mesure 21 cm au départ et brûle de 3 cm par heure. On note yy sa hauteur après xx heures.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Une salle de sport demande 55 € d'inscription et 19 € par mois. Écris le coût total yy après xx mois.
  2. Une salle de sport demande 77 € d'inscription et 16 € par mois. Écris le coût total yy après xx mois.
  3. Une salle de sport demande 25 € d'inscription et 17 € par mois. Écris le coût total yy après xx mois.

Fiche résumé

Fonctions affines

  • f(x)=mx+pf(x) = mx + p.
  • mm : le taux. pp : le départ.

Attention : le taux multiplie xx ; le montant de départ reste seul.

2. Tableau de signes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quel est le signe de 2x−62x - 6 pour x>3x > 3 ?

  1. Positif
  2. Négatif

L'idée clé

Le tableau de signes étudie un produit ou un quotient.

mx+pmx + p s'annule en −pm-\dfrac{p}{m} ; il a le signe de mm à droite de cette valeur, le signe contraire à gauche.

Pour A(x)B(x)A(x)B(x) ou A(x)B(x)\dfrac{A(x)}{B(x)} : on met les signes en lignes, on applique la règle des signes. Un dénominateur nul donne une valeur interdite.

Exemple corrigé

Résous (x−1)(x+2)≤0(x - 1)(x + 2) \leq 0.

−2-2 et 11
Racines.
Négatif entre −2-2 et 11.
Tableau.
[−2;1][-2 ; 1]
Solution.

À toi, guidé

À toi : pour quelle valeur x−4x - 4 s'annule-t-il ?

44
x = 4.

Entraînement ★

  1. En quelle valeur x↦6x−42x \mapsto 6x - 42 s'annule-t-elle ?
  2. En quelle valeur x↦5x−10x \mapsto 5x - 10 s'annule-t-elle ?
  3. En quelle valeur x↦3x−21x \mapsto 3x - 21 s'annule-t-elle ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Sur ]3;5[]3 ; 5[, quel est le signe de (x−3)(x−5)(x - 3)(x - 5) ?
    1. Négatif
    2. Positif
    3. Nul
  2. Sur ]2;8[]2 ; 8[, quel est le signe de (x−2)(x−8)(x - 2)(x - 8) ?
    1. Négatif
    2. Positif
    3. Nul
  1. Quel est le signe de 6x−306x - 30 pour x>5x > 5 ?
    1. Positif
    2. Négatif
    3. Nul
  1. Sur ]−∞;−7[]-\infty ; -7[, quel est le signe de (x+5)(x+7)(x + 5)(x + 7) ?
    1. Positif
    2. Négatif
    3. Nul

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. En quelle valeur x↦6x−42x \mapsto 6x - 42 s'annule-t-elle ?
  2. En quelle valeur x↦5x−10x \mapsto 5x - 10 s'annule-t-elle ?
  3. En quelle valeur x↦3x−21x \mapsto 3x - 21 s'annule-t-elle ?

Fiche résumé

Tableau de signes

  • Annule chaque facteur.
  • Règle des signes.

Attention : le dénominateur donne une valeur interdite.

3. Variations et extremums

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Sur [0;3][0 ; 3], ff monte puis descend. Où peut-elle avoir son maximum ?

  1. Au point où elle cesse de monter
  2. Forcément en 3

L'idée clé

Le sens de variation se résume dans un tableau.

ff est croissante sur II si a≤ba \leq b entraîne f(a)≤f(b)f(a) \leq f(b), décroissante si a≤ba \leq b entraîne f(a)≥f(b)f(a) \geq f(b).

Le maximum est la plus grande valeur de f(x)f(x), le minimum la plus petite.

Exemple corrigé

ff décroît sur [0;2][0 ; 2], puis croît sur [2;5][2 ; 5], avec f(2)=−1f(2) = -1.

ff a un minimum en x=2x = 2.
Tableau.
−1-1
Sa valeur.

À toi, guidé

À toi : ff croît sur [1;4][1 ; 4], avec f(1)=2f(1) = 2. Quelle est la plus petite valeur sur cet intervalle ?

22
f(1).

Entraînement ★

  1. ff décroît sur [0;1][0 ; 1], croît ensuite, et f(1)=9f(1) = 9. Quel est le minimum de ff ?
  2. ff décroît sur [0;4][0 ; 4], croît ensuite, et f(4)=3f(4) = 3. Quel est le minimum de ff ?
  3. ff décroît sur [0;6][0 ; 6], croît ensuite, et f(6)=3f(6) = 3. Quel est le minimum de ff ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. ff est croissante sur [4;7][4 ; 7]. Compare f(4)f(4) et f(6)f(6).
    1. f(4)≤f(6)f(4) \leq f(6)
    2. f(4)≥f(6)f(4) \geq f(6)
    3. On ne peut rien dire
  2. ff est croissante sur [3;6][3 ; 6]. Compare f(3)f(3) et f(5)f(5).
    1. f(3)≤f(5)f(3) \leq f(5)
    2. f(3)≥f(5)f(3) \geq f(5)
    3. On ne peut rien dire
  1. ff croît sur [0;3][0 ; 3], décroît ensuite, et f(3)=2f(3) = 2. Quel est le maximum de ff ?
  1. ff décroît sur [0;4][0 ; 4], croît ensuite, et f(4)=3f(4) = 3. En quelle valeur de xx le minimum est-il atteint ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. ff décroît sur [0;1][0 ; 1], croît ensuite, et f(1)=9f(1) = 9. Quel est le minimum de ff ?
  2. ff décroît sur [0;4][0 ; 4], croît ensuite, et f(4)=3f(4) = 3. Quel est le minimum de ff ?
  3. ff décroît sur [0;6][0 ; 6], croît ensuite, et f(6)=3f(6) = 3. Quel est le minimum de ff ?

Fiche résumé

Variations

  • Tableau de variations.
  • Maximum : plus grande valeur.

Attention : valeur et abscisse sont différentes.

Corrigé: Fonctions affines, signes et variations

1. Fonctions affines : forme y = mx + b

A

  1. 19x+5519 x + 55
  2. 16x+7716 x + 77

B

  1. y=1y = 1

C

  1. 6x+26 x + 2
  2. 5x+25 x + 2

D

  1. 77

E

  1. 19x+5519 x + 55
  2. 16x+7716 x + 77
  3. 17x+2517 x + 25

2. Tableau de signes

A

  1. 77
  2. 22
  3. 77

B

  1. Négatif
  2. Négatif

C

  1. Positif

D

  1. Positif

E

  1. 77
  2. 22
  3. 77

3. Variations et extremums

A

  1. 99
  2. 33
  3. 33

B

  1. f(4)≤f(6)f(4) \leq f(6)
  2. f(3)≤f(5)f(3) \leq f(5)

C

  1. 22

D

  1. 44

E

  1. 99
  2. 33
  3. 33