Déterminant, alignement et parallélisme

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$\vec{u}(2 ; 3)$ et $\vec{v}(4 ; 6)$ sont-ils colinéaires ?

Oui
Non

L'idée clé

Le déterminant teste la colinéarité.

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx'$ . $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

$A$ , $B$ , $C$ sont alignés $\iff \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. $(AB) \parallel (CD) \iff \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exemple corrigé

Teste $A(0 ; 1)$ , $B(1 ; 3)$ , $C(2 ; 5)$ .

\overrightarrow{AB}(1 ; 2)

,

\overrightarrow{AC}(2 ; 4)

Vecteurs.

1 \times 4 - 2 \times 2 = 0

Déterminant.

Oui

Ils sont alignés.

À toi, guidé

À toi : calcule $\det(\vec{u}(1 ; 2), \vec{v}(3 ; 4))$ .

-2

4 − 6.

Entraînement ★

Calcule $\det(\vec{u}(5 ; 3), \vec{v}(5 ; 7))$ .
Calcule $\det(\vec{u}(8 ; 4), \vec{v}(9 ; 5))$ .
Calcule $\det(\vec{u}(9 ; 6), \vec{v}(2 ; 5))$ .

Attention !

Entraînement ★★

Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec{u}(2 ; 1)$ et $\vec{v}(m ; 5)$ sont-ils colinéaires ?
Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec{u}(6 ; 1)$ et $\vec{v}(m ; 5)$ sont-ils colinéaires ?

Problème final. $A(0 ; 0)$ , $B(4 ; 4)$ et $C(16 ; 16)$ .

Si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$ , que peut-on dire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
1. Ils sont colinéaires
2. Ils sont orthogonaux
3. L'un d'eux est nul

$A(0 ; 0)$ , $B(1 ; 2)$ et $C(5 ; 10)$ . Ces points sont-ils alignés ?
1. Oui : $\overrightarrow{AC} = 5\overrightarrow{AB}$
2. Non : leurs coordonnées sont différentes
3. Non : $C$ est plus loin

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule $\det(\vec{u}(5 ; 3), \vec{v}(5 ; 7))$ .
Calcule $\det(\vec{u}(8 ; 4), \vec{v}(9 ; 5))$ .
Calcule $\det(\vec{u}(9 ; 6), \vec{v}(2 ; 5))$ .

Fiche résumé

Déterminant

$xy' - yx'$ .
Nul : colinéaires.

Attention : respecte l'ordre $x$ , $y'$ .

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