Vecteurs

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1. Vecteurs : égalité, somme, relation de Chasles

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une translation amène AA sur BB, et CC sur DD. Que peut-on dire de AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} ?

  1. Ils sont égaux
  2. Ils ont seulement la même longueur

L'idée clé

Un vecteur a une direction, un sens, une longueur.

Figure non à l'échelle

AB→=CD→  ⟺  ABDC\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Relation de Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. L'opposé de AB→\overrightarrow{AB} est BA→\overrightarrow{BA}.

Exemple corrigé

Simplifie AB→+CA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}.

CA→+AB→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}
On change l'ordre.
CB→\overrightarrow{CB}
Chasles.

À toi, guidé

À toi : simplifie AB→+BA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}. (Donne 0.)

0⃗\vec{0}
Vecteur nul.

Entraînement ★

  1. Simplifie MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}.Figure non à l'échelle
    1. MP→\overrightarrow{MP}
    2. PM→\overrightarrow{PM}
    3. NN→\overrightarrow{NN}
  2. Simplifie MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}.Figure non à l'échelle
    1. MP→\overrightarrow{MP}
    2. PM→\overrightarrow{PM}
    3. NN→\overrightarrow{NN}
  3. Simplifie MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}.Figure non à l'échelle
    1. MP→\overrightarrow{MP}
    2. PM→\overrightarrow{PM}
    3. NN→\overrightarrow{NN}

Attention !

Entraînement ★★

  1. ABCDABCD est un parallélogramme. Quel vecteur est égal à AB→\overrightarrow{AB} ?Figure non à l'échelle
    1. DC→\overrightarrow{DC}
    2. CD→\overrightarrow{CD}
    3. BC→\overrightarrow{BC}
  2. ABCDABCD est un parallélogramme. Quel vecteur est égal à AB→\overrightarrow{AB} ?Figure non à l'échelle
    1. DC→\overrightarrow{DC}
    2. CD→\overrightarrow{CD}
    3. BC→\overrightarrow{BC}
  1. Quel est l'opposé de AB→\overrightarrow{AB} ?
    1. BA→\overrightarrow{BA}
    2. AB→\overrightarrow{AB}
    3. −BA→-\overrightarrow{BA}
  1. AB=CDAB = CD. Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont-ils forcément égaux ?
    1. Non : il faut aussi même direction et même sens
    2. Oui : ils ont la même longueur
    3. Oui : ils ont le même nom

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Simplifie MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}.Figure non à l'échelle
    1. MP→\overrightarrow{MP}
    2. PM→\overrightarrow{PM}
    3. NN→\overrightarrow{NN}
  2. Simplifie MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}.Figure non à l'échelle
    1. MP→\overrightarrow{MP}
    2. PM→\overrightarrow{PM}
    3. NN→\overrightarrow{NN}
  3. Simplifie MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}.Figure non à l'échelle
    1. MP→\overrightarrow{MP}
    2. PM→\overrightarrow{PM}
    3. NN→\overrightarrow{NN}

Fiche résumé

Vecteurs

  • Égaux : même direction, sens, longueur.
  • Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.

Attention : même longueur ne suffit pas.

2. Produit par un réel et colinéarité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

v⃗=3u⃗\vec{v} = 3\vec{u}. Que peut-on dire de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ?

  1. Ils sont colinéaires
  2. Ils sont égaux

L'idée clé

Multiplier change la longueur, et parfois le sens.

Figure non à l'échelle

ku⃗k\vec{u} a la direction de u⃗\vec{u}, une longueur multipliée par ∣k∣|k|, le même sens si k>0k > 0, le sens contraire si k<0k < 0.

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires s'il existe kk tel que v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u}. Tout vecteur s'écrit comme combinaison de deux vecteurs non colinéaires.

Exemple corrigé

AC→=2AB→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}.

AA, BB, CC sont alignés.
Colinéaires.
AC=2ABAC = 2AB
Longueur.

À toi, guidé

À toi : si v⃗=−2u⃗\vec{v} = -2\vec{u} et ∥u⃗∥=3\|\vec{u}\| = 3, que vaut ∥v⃗∥\|\vec{v}\| ?

66
2 × 3.

Entraînement ★

  1. v⃗=−2u⃗\vec{v} = -2\vec{u} et ∥u⃗∥=8\|\vec{u}\| = 8. Calcule ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.
  2. v⃗=−7u⃗\vec{v} = -7\vec{u} et ∥u⃗∥=6\|\vec{u}\| = 6. Calcule ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.
  3. v⃗=−9u⃗\vec{v} = -9\vec{u} et ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = 2. Calcule ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.

Attention !

Entraînement ★★

  1. AC→=2AB→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB} et AB=1AB = 1. Calcule ACAC.
  2. AC→=4AB→\overrightarrow{AC} = 4\overrightarrow{AB} et AB=1AB = 1. Calcule ACAC.
  1. v⃗=4u⃗\vec{v} = 4\vec{u}. Que peut-on dire de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ?
    1. Ils sont colinéaires
    2. Ils sont orthogonaux
    3. Ils sont égaux
  1. u⃗(2;3)\vec{u}(2 ; 3). Quelle est l'abscisse de 3u⃗3\vec{u} ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. v⃗=−2u⃗\vec{v} = -2\vec{u} et ∥u⃗∥=8\|\vec{u}\| = 8. Calcule ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.
  2. v⃗=−7u⃗\vec{v} = -7\vec{u} et ∥u⃗∥=6\|\vec{u}\| = 6. Calcule ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.
  3. v⃗=−9u⃗\vec{v} = -9\vec{u} et ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = 2. Calcule ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.

Fiche résumé

Colinéarité

  • v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u}.
  • Alignement : AC→=kAB→\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}.

Attention : colinéaires ne veut pas dire égaux.

3. Coordonnées, norme, distance et milieu

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

A(1;2)A(1 ; 2) et B(4;6)B(4 ; 6). Quelles sont les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} ?

  1. (3;4)(3 ; 4)
  2. (−3;−4)(-3 ; -4)

L'idée clé

Dans une base orthonormée, on calcule directement.

AB→(xB−xA;yB−yA)\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A) et ∥u⃗(x;y)∥=x2+y2\|\vec{u}(x ; y)\| = \sqrt{x^2 + y^2}.

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. Le milieu II de [AB][AB] a pour coordonnées (xA+xB2;yA+yB2)\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right).

Exemple corrigé

A(1;2)A(1 ; 2), B(4;6)B(4 ; 6).

AB=9+16=5AB = \sqrt{9 + 16} = 5
Distance.
I(52;4)I\left(\dfrac{5}{2} ; 4\right)
Milieu.

À toi, guidé

À toi : quelle est l'abscisse du milieu de A(2;0)A(2 ; 0) et B(8;0)B(8 ; 0) ?

55
(2 + 8)/2.

Entraînement ★

  1. A(3;5)A(3 ; 5) et B(15;21)B(15 ; 21). Calcule ABAB.
  2. A(5;5)A(5 ; 5) et B(8;9)B(8 ; 9). Calcule ABAB.
  3. A(1;3)A(1 ; 3) et B(7;11)B(7 ; 11). Calcule ABAB.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est l'abscisse du milieu de A(5;0)A(5 ; 0) et B(11;0)B(11 ; 0) ?
  2. Quelle est l'abscisse du milieu de A(4;0)A(4 ; 0) et B(8;0)B(8 ; 0) ?
  1. A(3;0)A(3 ; 0) et B(1;0)B(1 ; 0). Quelle est l'abscisse de AB→\overrightarrow{AB} ?
  1. Calcule la norme de u⃗(3;4)\vec{u}(3 ; 4).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. A(3;5)A(3 ; 5) et B(15;21)B(15 ; 21). Calcule ABAB.
  2. A(5;5)A(5 ; 5) et B(8;9)B(8 ; 9). Calcule ABAB.
  3. A(1;3)A(1 ; 3) et B(7;11)B(7 ; 11). Calcule ABAB.

Fiche résumé

Coordonnées

  • AB→\overrightarrow{AB} : B−AB - A.
  • Norme : x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}.

Attention : arrivée moins départ.

4. Déterminant, alignement et parallélisme

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

u⃗(2;3)\vec{u}(2 ; 3) et v⃗(4;6)\vec{v}(4 ; 6) sont-ils colinéaires ?

  1. Oui
  2. Non

L'idée clé

Le déterminant teste la colinéarité.

det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−yx′\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx'. u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

AA, BB, CC sont alignés   ⟺  AB→\iff \overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires. (AB)∥(CD)  ⟺  AB→(AB) \parallel (CD) \iff \overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Exemple corrigé

Teste A(0;1)A(0 ; 1), B(1;3)B(1 ; 3), C(2;5)C(2 ; 5).

AB→(1;2)\overrightarrow{AB}(1 ; 2), AC→(2;4)\overrightarrow{AC}(2 ; 4)
Vecteurs.
1×4−2×2=01 \times 4 - 2 \times 2 = 0
Déterminant.
Oui
Ils sont alignés.

À toi, guidé

À toi : calcule det⁡(u⃗(1;2),v⃗(3;4))\det(\vec{u}(1 ; 2), \vec{v}(3 ; 4)).

−2-2
4 − 6.

Entraînement ★

  1. Calcule det⁡(u⃗(5;3),v⃗(5;7))\det(\vec{u}(5 ; 3), \vec{v}(5 ; 7)).
  2. Calcule det⁡(u⃗(8;4),v⃗(9;5))\det(\vec{u}(8 ; 4), \vec{v}(9 ; 5)).
  3. Calcule det⁡(u⃗(9;6),v⃗(2;5))\det(\vec{u}(9 ; 6), \vec{v}(2 ; 5)).

Attention !

Entraînement ★★

  1. Pour quelle valeur de mm les vecteurs u⃗(2;1)\vec{u}(2 ; 1) et v⃗(m;5)\vec{v}(m ; 5) sont-ils colinéaires ?
  2. Pour quelle valeur de mm les vecteurs u⃗(6;1)\vec{u}(6 ; 1) et v⃗(m;5)\vec{v}(m ; 5) sont-ils colinéaires ?
  1. Problème final. A(0;0)A(0 ; 0), B(4;4)B(4 ; 4) et C(16;16)C(16 ; 16).
  1. Si det⁡(u⃗,v⃗)=0\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0, que peut-on dire de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ?
    1. Ils sont colinéaires
    2. Ils sont orthogonaux
    3. L'un d'eux est nul
  1. A(0;0)A(0 ; 0), B(1;2)B(1 ; 2) et C(5;10)C(5 ; 10). Ces points sont-ils alignés ?
    1. Oui : AC→=5AB→\overrightarrow{AC} = 5\overrightarrow{AB}
    2. Non : leurs coordonnées sont différentes
    3. Non : CC est plus loin

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule det⁡(u⃗(5;3),v⃗(5;7))\det(\vec{u}(5 ; 3), \vec{v}(5 ; 7)).
  2. Calcule det⁡(u⃗(8;4),v⃗(9;5))\det(\vec{u}(8 ; 4), \vec{v}(9 ; 5)).
  3. Calcule det⁡(u⃗(9;6),v⃗(2;5))\det(\vec{u}(9 ; 6), \vec{v}(2 ; 5)).

Fiche résumé

Déterminant

  • xy′−yx′xy' - yx'.
  • Nul : colinéaires.

Attention : respecte l'ordre xx, y′y'.

Corrigé: Vecteurs

1. Vecteurs : égalité, somme, relation de Chasles

A

  1. MP→\overrightarrow{MP}
  2. MP→\overrightarrow{MP}
  3. MP→\overrightarrow{MP}

B

  1. DC→\overrightarrow{DC}
  2. DC→\overrightarrow{DC}

C

  1. BA→\overrightarrow{BA}

D

  1. Non : il faut aussi même direction et même sens

E

  1. MP→\overrightarrow{MP}
  2. MP→\overrightarrow{MP}
  3. MP→\overrightarrow{MP}

2. Produit par un réel et colinéarité

A

  1. 1616
  2. 4242
  3. 1818

B

  1. 22
  2. 44

C

  1. Ils sont colinéaires

D

  1. 66

E

  1. 1616
  2. 4242
  3. 1818

3. Coordonnées, norme, distance et milieu

A

  1. 2020
  2. 55
  3. 1010

B

  1. 88
  2. 66

C

  1. −2-2

D

  1. 55

E

  1. 2020
  2. 55
  3. 1010

4. Déterminant, alignement et parallélisme

A

  1. 2020
  2. 44
  3. 3333

B

  1. 1010
  2. 3030

C

  1. 44

D

  1. Ils sont colinéaires

E

  1. Oui : AC→=5AB→\overrightarrow{AC} = 5\overrightarrow{AB}

F

  1. 2020
  2. 44
  3. 3333