La dérivée seconde, la convexité et l'accélération

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de $y = x^3$ . La droite bleue est sa tangente en $x = a$ . Fais glisser $a$ de $-2$ à $2$ .

La courbe y = x³ et sa tangente en x = a. Pour a < 0, la courbe est sous sa tangente ; pour a > 0, elle est au-dessus. Le changement se produit en x = 0.

Pour $a > 0$ , la courbe est au-dessus de ses tangentes et les pentes $3a^2$ augmentent. Comment se courbe-t-elle ?

Vers le haut
Vers le bas

L'idée clé

La dérivée de la dérivée indique comment varie la pente.

f''

est la dérivée de

f'

: c'est la dérivée seconde. Si

f'' \geq 0

sur un intervalle, alors

f'

y est croissante ; si

f'' \leq 0

, alors

f'

y est décroissante. En physique : l'accélération est

a(t) = v'(t)

, la dérivée seconde de la position.

Exemple corrigé

$v(t) = t^2 + 4t$ , en m/s. Calcule l'accélération à l'instant $t = 3$ .

a(t) = v'(t) = 2t + 4

On dérive la vitesse.

a(3) = 10

m/s²

On remplace t par 3.

À toi, guidé

À toi : même $v(t)$ , à l'instant $t = 1$ .

a(1) = 6

m/s²

2 × 1 + 4.

Entraînement ★

Sur l'intervalle $]2 ; 8[$ , la fonction $f$ est croissante et sa courbe se courbe vers le bas. Coche toutes les affirmations vraies sur cet intervalle.
1. $f'(x) > 0$
2. $f''(x) < 0$
3. $f'$ est décroissante : la courbe monte de moins en moins vite
4. $f''(x) > 0$ , car $f$ est croissante
5. $f'(x) < 0$ , car la courbe se courbe vers le bas

La vitesse d'une particule est $v(t) = t^2 + 4t$ , en m/s. Son accélération est $a(t) = v'(t)$ . Calcule $a(6)$ , en m/s².
La vitesse d'une particule est $v(t) = t^2 + 1t$ , en m/s. Son accélération est $a(t) = v'(t)$ . Calcule $a(6)$ , en m/s².

Attention !

Entraînement ★★

Voici la courbe de la dérivée $y = f'(x)$ . Touche le point de cette courbe dont l'abscisse correspond à un point d'inflexion de $f$ .
Voici la courbe de la dérivée $y = f'(x)$ . Touche le point de cette courbe dont l'abscisse correspond à un point d'inflexion de $f$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

La vitesse d'une particule est $v(t) = t^2 + 4t$ , en m/s. Son accélération est $a(t) = v'(t)$ . Calcule $a(6)$ , en m/s².
La vitesse d'une particule est $v(t) = t^2 + 1t$ , en m/s. Son accélération est $a(t) = v'(t)$ . Calcule $a(6)$ , en m/s².
La vitesse d'une particule est $v(t) = t^2 + 6t$ , en m/s. Son accélération est $a(t) = v'(t)$ . Calcule $a(6)$ , en m/s².

Fiche résumé

Dérivée seconde

$f'' \geq 0$ : $f'$ est croissante. $f'' \leq 0$ : $f'$ est décroissante.
L'accélération est la dérivée de la vitesse.

Attention : $f'$ dit si la courbe monte ou descend ; $f''$ dit comment elle se courbe.

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