Fiche d'exercices

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Nouvelles questions Avec le corrigé

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Voici la courbe de la dérivée $y = f'(x)$ . Touche le point de cette courbe dont l'abscisse correspond à un point d'inflexion de $f$ .
La vitesse d'une particule est $v(t) = t^2 + 4t$ , en m/s. Son accélération est $a(t) = v'(t)$ . Calcule $a(6)$ , en m/s².
$f(x) = x^3 - 6x^2$ . En quelle valeur de $x$ la dérivée seconde $f''$ s'annule-t-elle ?
$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ . Que peut-on dire de sa courbe et de sa tangente au point d'abscisse 2 ?
1. La courbe est au-dessus de cette tangente
2. La courbe est en dessous de cette tangente
3. La courbe coupe forcément cette tangente
$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ . Que peut-on dire de sa courbe et de sa tangente au point d'abscisse 4 ?
1. La courbe est au-dessus de cette tangente
2. La courbe est en dessous de cette tangente
3. La courbe coupe forcément cette tangente
$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ . Que peut-on dire de sa courbe et de sa tangente au point d'abscisse 1 ?
1. La courbe est au-dessus de cette tangente
2. La courbe est en dessous de cette tangente
3. La courbe coupe forcément cette tangente
$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ . Que peut-on dire de sa courbe et de sa tangente au point d'abscisse 5 ?
1. La courbe est au-dessus de cette tangente
2. La courbe est en dessous de cette tangente
3. La courbe coupe forcément cette tangente
$f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ . Que peut-on dire de sa courbe et de sa tangente au point d'abscisse 3 ?
1. La courbe est au-dessus de cette tangente
2. La courbe est en dessous de cette tangente
3. La courbe coupe forcément cette tangente
La fonction $f(x) = 3\mathrm{e}^x$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ?
1. Oui : $f''(x) = 3\mathrm{e}^x > 0$
2. Non : $f$ est croissante, donc concave
3. Seulement pour $x > 0$
La fonction $f(x) = 6\mathrm{e}^x$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ?
1. Oui : $f''(x) = 6\mathrm{e}^x > 0$
2. Non : $f$ est croissante, donc concave
3. Seulement pour $x > 0$
La fonction $f(x) = 5\mathrm{e}^x$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ?
1. Oui : $f''(x) = 5\mathrm{e}^x > 0$
2. Non : $f$ est croissante, donc concave
3. Seulement pour $x > 0$
La fonction $f(x) = 9\mathrm{e}^x$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ?
1. Oui : $f''(x) = 9\mathrm{e}^x > 0$
2. Non : $f$ est croissante, donc concave
3. Seulement pour $x > 0$
La fonction $f(x) = 8\mathrm{e}^x$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ?
1. Oui : $f''(x) = 8\mathrm{e}^x > 0$
2. Non : $f$ est croissante, donc concave
3. Seulement pour $x > 0$
La fonction $f(x) = 7\mathrm{e}^x$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ?
1. Oui : $f''(x) = 7\mathrm{e}^x > 0$
2. Non : $f$ est croissante, donc concave
3. Seulement pour $x > 0$
La fonction $f(x) = 2\mathrm{e}^x$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ?
1. Oui : $f''(x) = 2\mathrm{e}^x > 0$
2. Non : $f$ est croissante, donc concave
3. Seulement pour $x > 0$
La fonction $f(x) = 4\mathrm{e}^x$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ?
1. Oui : $f''(x) = 4\mathrm{e}^x > 0$
2. Non : $f$ est croissante, donc concave
3. Seulement pour $x > 0$
$f(x) = 1x^3$ . Calcule $f''(x)$ .
Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de $f(x) = x^3 - 9x^2 + 2$ ?
$f(x) = x^{ 4 }$ vérifie $f''(0) = 0$ . La courbe a-t-elle un point d'inflexion en 0 ?
1. Non : $f''$ ne change pas de signe en 0
2. Oui, car $f''(0) = 0$
3. Oui, et c'est un maximum de $f$
$f(x) = x^{ 6 }$ vérifie $f''(0) = 0$ . La courbe a-t-elle un point d'inflexion en 0 ?
1. Non : $f''$ ne change pas de signe en 0
2. Oui, car $f''(0) = 0$
3. Oui, et c'est un maximum de $f$
Sur $\mathbb{R}$ , la courbe de $f'$ admet un unique maximum, atteint en $x = 1$ . Que peut-on dire de $f$ en $x = 1$ ?
1. Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 1
2. $f$ a un maximum en 1
3. $f'(1) = 0$
Sur $\mathbb{R}$ , la courbe de $f'$ admet un unique maximum, atteint en $x = 5$ . Que peut-on dire de $f$ en $x = 5$ ?
1. Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 5
2. $f$ a un maximum en 5
3. $f'(5) = 0$
Sur $\mathbb{R}$ , la courbe de $f'$ admet un unique maximum, atteint en $x = 3$ . Que peut-on dire de $f$ en $x = 3$ ?
1. Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 3
2. $f$ a un maximum en 3
3. $f'(3) = 0$
Sur $\mathbb{R}$ , la courbe de $f'$ admet un unique maximum, atteint en $x = 2$ . Que peut-on dire de $f$ en $x = 2$ ?
1. Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 2
2. $f$ a un maximum en 2
3. $f'(2) = 0$
Sur $\mathbb{R}$ , la courbe de $f'$ admet un unique maximum, atteint en $x = 4$ . Que peut-on dire de $f$ en $x = 4$ ?
1. Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 4
2. $f$ a un maximum en 4
3. $f'(4) = 0$
La courbe de $f(x) = x^3$ admet-elle un point d'inflexion en 0 ?
1. Oui : $f'' = 6x$ change de signe en 0
2. Non : la tangente en 0 est horizontale
3. Non : $f''(0) = 0$ ne suffit jamais
$f(x) = (x - 6)\mathrm{e}^x$ , et on admet que $f'(x) = (x - 5)\mathrm{e}^x$ . En quelle valeur de $x$ la fonction $f$ atteint-elle son minimum ?
$f(x) = x\mathrm{e}^{ 3x }$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = x^2 - 4x + 6$ . En quelle valeur de $x$ le minimum est-il atteint ?
$f(x) = x^2 - 2x + 1$ . Quelle est la valeur du minimum de $f$ ?

Corrigé

$(-1, 4)$
$16$
$2$
La courbe est au-dessus de cette tangente
Oui : $f''(x) = 3\mathrm{e}^x > 0$
$6 x$
$3$
Non : $f''$ ne change pas de signe en 0
Sa courbe a un point d'inflexion d'abscisse 1
Oui : $f'' = 6x$ change de signe en 0
$5$
$3 x e^{3 x} + e^{3 x}$
$2$
$0$