Loi exponentielle

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$X$ est un temps d'attente de loi exponentielle. On a déjà attendu 5 minutes. Quelle est l'influence sur l'attente restante ?

Aucune
Elle sera plus courte

L'idée clé

Une loi d'attente sans mémoire.

Loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ : $f(x) = \lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}$ sur $[0 ; +\infty[$ .

$P(X \leq t) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda t}$ , $P(X > t) = \mathrm{e}^{-\lambda t}$ et $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ . De plus, $P_{X > s}(X > s + t) = P(X > t)$ .

Exemple corrigé

$\lambda = 0{,}5$ . Calcule $P(X > 2)$ et $E(X)$ .

P(X > 2) = \mathrm{e}^{-1}

e^(−λt).

E(X) = 2

1/λ.

À toi, guidé

À toi : pour $\lambda = 2$ , que vaut $E(X)$ ?

\dfrac{1}{2}

1/2.

Entraînement ★

$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 4$ . Calcule $E(X)$ .
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 7$ . Calcule $E(X)$ .
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 3$ . Calcule $E(X)$ .

Attention !

Entraînement ★★

$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2$ . Calcule $P(X > 2)$ .
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 3$ . Calcule $P(X > 2)$ .

Problème final. $X$ suit la loi exponentielle de paramètre 2.

Que signifie la propriété « sans mémoire » de la loi exponentielle ?
1. $P_{X \geq s}(X \geq s + t) = P(X \geq t)$
2. $P(X \geq s + t) = P(X \geq s) + P(X \geq t)$
3. $X$ prend toujours la même valeur

$X$ suit la loi exponentielle de paramètre 5. Calcule $P(X \leq 0)$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 4$ . Calcule $E(X)$ .
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 7$ . Calcule $E(X)$ .
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 3$ . Calcule $E(X)$ .

Fiche résumé

Loi exponentielle

$P(X > t) = \mathrm{e}^{-\lambda t}$ .
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ .

Attention : pas de mémoire : l'attente passée ne compte pas.

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