Lois à densité

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Lois à densité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

XX suit une loi à densité. Que vaut P(X=2)P(X = 2) ?

  1. 00
  2. f(2)f(2)

L'idée clé

Une probabilité est une aire sous la courbe de densité.

ff est une densité sur [a;b][a ; b] si f≥0f \geq 0 et ∫abf(x) dx=1\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = 1. Alors P(c≤X≤d)=∫cdf(x) dxP(c \leq X \leq d) = \displaystyle\int_c^d f(x)\,\mathrm{d}x.

F(x)=P(X≤x)F(x) = P(X \leq x) est la fonction de répartition. E(X)=∫abxf(x) dxE(X) = \displaystyle\int_a^b xf(x)\,\mathrm{d}x et V(X)=∫ab(x−E(X))2f(x) dxV(X) = \displaystyle\int_a^b (x - E(X))^2f(x)\,\mathrm{d}x.

Exemple corrigé

f(x)=2xf(x) = 2x sur [0;1][0 ; 1]. Calcule P(X≤0,5)P(X \leq 0{,}5) et E(X)E(X).

P(X≤0,5)=0,52=0,25P(X \leq 0{,}5) = 0{,}5^2 = 0{,}25
Primitive x².
E(X)=∫012x2 dx=23E(X) = \displaystyle\int_0^1 2x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{2}{3}
Espérance.

À toi, guidé

À toi : ff est une densité sur [0;1][0 ; 1]. Que vaut ∫01f(x) dx\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x ?

11
Aire totale.

Entraînement ★

  1. f(x)=2xf(x) = 2x est une densité sur [0;1][0 ; 1]. Calcule P(X≤12)P\left(X \leq \dfrac{1}{ 2 }\right).
  2. f(x)=2xf(x) = 2x est une densité sur [0;1][0 ; 1]. Calcule P(X≤15)P\left(X \leq \dfrac{1}{ 5 }\right).
  3. f(x)=2xf(x) = 2x est une densité sur [0;1][0 ; 1]. Calcule P(X≤18)P\left(X \leq \dfrac{1}{ 8 }\right).

Attention !

Entraînement ★★

  1. f(x)=kxf(x) = kx est une densité sur [0;7][0 ; 7]. Trouve kk.
  2. f(x)=kxf(x) = kx est une densité sur [0;6][0 ; 6]. Trouve kk.
  1. XX suit une loi à densité. Que vaut P(X=2)P(X = 2) ?
    1. 0
    2. f(2)f(2)
    3. 1
  1. ff est constante, égale à kk, sur [0;6][0 ; 6], et c'est une densité. Que vaut kk ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=2xf(x) = 2x est une densité sur [0;1][0 ; 1]. Calcule P(X≤12)P\left(X \leq \dfrac{1}{ 2 }\right).
  2. f(x)=2xf(x) = 2x est une densité sur [0;1][0 ; 1]. Calcule P(X≤15)P\left(X \leq \dfrac{1}{ 5 }\right).
  3. f(x)=2xf(x) = 2x est une densité sur [0;1][0 ; 1]. Calcule P(X≤18)P\left(X \leq \dfrac{1}{ 8 }\right).

Fiche résumé

Lois à densité

  • Probabilité = aire sous la densité.
  • P(X=a)=0P(X = a) = 0.

Attention : la densité n'est pas une probabilité.

2. Loi uniforme sur un intervalle

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On choisit au hasard un nombre dans [0;10][0 ; 10]. Quelle est la probabilité qu'il soit entre 2 et 5 ?

  1. 0,30{,}3
  2. 33

L'idée clé

La densité est constante.

Loi uniforme sur [a;b][a ; b] : f(x)=1b−af(x) = \dfrac{1}{b - a}, P(c≤X≤d)=d−cb−aP(c \leq X \leq d) = \dfrac{d - c}{b - a}.

E(X)=a+b2E(X) = \dfrac{a + b}{2} et V(X)=(b−a)212V(X) = \dfrac{(b - a)^2}{12}.

Exemple corrigé

XX suit la loi uniforme sur [2;8][2 ; 8]. Calcule P(X≤5)P(X \leq 5) et E(X)E(X).

P(X≤5)=0,5P(X \leq 5) = 0{,}5
Longueur 3 sur longueur 6.
E(X)=5E(X) = 5
Milieu.

À toi, guidé

À toi : quelle est la densité de la loi uniforme sur [0;4][0 ; 4] ?

14\dfrac{1}{4}
1 / 4.

Entraînement ★

  1. XX suit la loi uniforme sur [4;9][4 ; 9]. Calcule P(X≤5)P(X \leq 5).
  2. XX suit la loi uniforme sur [5;10][5 ; 10]. Calcule P(X≤6)P(X \leq 6).
  3. XX suit la loi uniforme sur [4;10][4 ; 10]. Calcule P(X≤5)P(X \leq 5).

Attention !

Entraînement ★★

  1. XX suit la loi uniforme sur [1;3][1 ; 3]. Calcule E(X)E(X).
  2. XX suit la loi uniforme sur [6;16][6 ; 16]. Calcule E(X)E(X).
  1. XX suit la loi uniforme sur [5;7][5 ; 7]. Quelle est la valeur de sa densité sur cet intervalle ?
  1. XX suit la loi uniforme sur [2;9][2 ; 9]. Calcule P(3≤X≤6)P(3 \leq X \leq 6).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. XX suit la loi uniforme sur [4;9][4 ; 9]. Calcule P(X≤5)P(X \leq 5).
  2. XX suit la loi uniforme sur [5;10][5 ; 10]. Calcule P(X≤6)P(X \leq 6).
  3. XX suit la loi uniforme sur [4;10][4 ; 10]. Calcule P(X≤5)P(X \leq 5).

Fiche résumé

Uniforme

  • f=1b−af = \dfrac{1}{b - a}.
  • E=a+b2E = \dfrac{a + b}{2}.

Attention : une probabilité est un rapport de longueurs.

3. Loi exponentielle

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

XX est un temps d'attente de loi exponentielle. On a déjà attendu 5 minutes. Quelle est l'influence sur l'attente restante ?

  1. Aucune
  2. Elle sera plus courte

L'idée clé

Une loi d'attente sans mémoire.

Loi exponentielle de paramètre λ>0\lambda > 0 : f(x)=λe−λxf(x) = \lambda\mathrm{e}^{-\lambda x} sur [0;+∞[[0 ; +\infty[.

P(X≤t)=1−e−λtP(X \leq t) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda t}, P(X>t)=e−λtP(X > t) = \mathrm{e}^{-\lambda t} et E(X)=1λE(X) = \dfrac{1}{\lambda}. De plus, PX>s(X>s+t)=P(X>t)P_{X > s}(X > s + t) = P(X > t).

Exemple corrigé

λ=0,5\lambda = 0{,}5. Calcule P(X>2)P(X > 2) et E(X)E(X).

P(X>2)=e−1P(X > 2) = \mathrm{e}^{-1}
e^(−λt).
E(X)=2E(X) = 2
1/λ.

À toi, guidé

À toi : pour λ=2\lambda = 2, que vaut E(X)E(X) ?

12\dfrac{1}{2}
1/2.

Entraînement ★

  1. XX suit la loi exponentielle de paramètre λ=4\lambda = 4. Calcule E(X)E(X).
  2. XX suit la loi exponentielle de paramètre λ=7\lambda = 7. Calcule E(X)E(X).
  3. XX suit la loi exponentielle de paramètre λ=3\lambda = 3. Calcule E(X)E(X).

Attention !

Entraînement ★★

  1. XX suit la loi exponentielle de paramètre λ=2\lambda = 2. Calcule P(X>2)P(X > 2).
  2. XX suit la loi exponentielle de paramètre λ=3\lambda = 3. Calcule P(X>2)P(X > 2).
  1. Problème final. XX suit la loi exponentielle de paramètre 2.
  1. Que signifie la propriété « sans mémoire » de la loi exponentielle ?
    1. PX≥s(X≥s+t)=P(X≥t)P_{X \geq s}(X \geq s + t) = P(X \geq t)
    2. P(X≥s+t)=P(X≥s)+P(X≥t)P(X \geq s + t) = P(X \geq s) + P(X \geq t)
    3. XX prend toujours la même valeur
  1. XX suit la loi exponentielle de paramètre 5. Calcule P(X≤0)P(X \leq 0).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. XX suit la loi exponentielle de paramètre λ=4\lambda = 4. Calcule E(X)E(X).
  2. XX suit la loi exponentielle de paramètre λ=7\lambda = 7. Calcule E(X)E(X).
  3. XX suit la loi exponentielle de paramètre λ=3\lambda = 3. Calcule E(X)E(X).

Fiche résumé

Loi exponentielle

  • P(X>t)=e−λtP(X > t) = \mathrm{e}^{-\lambda t}.
  • E(X)=1λE(X) = \dfrac{1}{\lambda}.

Attention : pas de mémoire : l'attente passée ne compte pas.

Corrigé: Lois à densité

1. Lois à densité

A

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 125\frac{1}{25}
  3. 164\frac{1}{64}

B

  1. 249\frac{2}{49}
  2. 118\frac{1}{18}

C

  1. 0

D

  1. 16\frac{1}{6}

E

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 125\frac{1}{25}
  3. 164\frac{1}{64}

2. Loi uniforme sur un intervalle

A

  1. 15\frac{1}{5}
  2. 15\frac{1}{5}
  3. 16\frac{1}{6}

B

  1. 22
  2. 1111

C

  1. 12\frac{1}{2}

D

  1. 37\frac{3}{7}

E

  1. 15\frac{1}{5}
  2. 15\frac{1}{5}
  3. 16\frac{1}{6}

3. Loi exponentielle

A

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 17\frac{1}{7}
  3. 13\frac{1}{3}

B

  1. e−4e^{-4}
  2. e−6e^{-6}

C

  1. e−4e^{-4}

D

  1. PX≥s(X≥s+t)=P(X≥t)P_{X \geq s}(X \geq s + t) = P(X \geq t)

E

  1. 00

F

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 17\frac{1}{7}
  3. 13\frac{1}{3}