Inversion du conditionnement et formule de Bayes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

1 % d'une population est malade. Un test est positif pour 95 % des malades et 5 % des non-malades. Une personne a un test positif : est-elle malade à 95 % ?

Non, c'est bien moins
Oui

L'idée clé

On inverse le conditionnement.

Formule de Bayes : $P_B(A) = \dfrac{P_A(B)P(A)}{P(B)}$ . $P(A)$ est la probabilité a priori, $P_B(A)$ la probabilité a posteriori.

$P(B) = P_A(B)P(A) + P_{\bar{A}}(B)P(\bar{A})$ .

Exemple corrigé

Avec les données ci-dessus, calcule $P_+(M)$ .

P(+) = 0{,}95 \times 0{,}01 + 0{,}05 \times 0{,}99 = 0{,}059

Probabilités totales.

P_+(M) = \dfrac{0{,}0095}{0{,}059}

Bayes.

\approx 0{,}16

On calcule.

À toi, guidé

À toi : $P_A(B) = 0{,}5$ , $P(A) = 0{,}4$ et $P(B) = 0{,}5$ . Calcule $P_B(A)$ .

0{,}4

0,5 × 0,4 / 0,5.

Entraînement ★

$P_A(B) = \dfrac{ 1 }{10}$ , $P(A) = \dfrac{ 1 }{10}$ et $P(B) = \dfrac{ 1 }{20}$ . Calcule $P_B(A)$ .
$P_A(B) = \dfrac{ 7 }{10}$ , $P(A) = \dfrac{ 5 }{10}$ et $P(B) = \dfrac{ 7 }{20}$ . Calcule $P_B(A)$ .
$P_A(B) = \dfrac{ 1 }{10}$ , $P(A) = \dfrac{ 5 }{10}$ et $P(B) = \dfrac{ 1 }{20}$ . Calcule $P_B(A)$ .

Attention !

Entraînement ★★

$P(A) = \dfrac{ 1 }{10}$ , $P_A(B) = \dfrac{ 7 }{10}$ , $P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{ 4 }{10}$ . Calcule $P(B)$ .
$P(A) = \dfrac{ 1 }{10}$ , $P_A(B) = \dfrac{ 7 }{10}$ , $P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{ 1 }{10}$ . Calcule $P(B)$ .

Problème final. Une maladie touche $\dfrac{ 4 }{100}$ de la population. Un test est positif pour 90 % des malades et pour $\dfrac{ 5 }{100}$ des non-malades.

$P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont-elles toujours égales ?
1. Non, elles diffèrent en général
2. Oui, toujours
3. Oui, si $P(A \cap B) \neq 0$

$P(B) = \dfrac{ 5 }{10}$ et $P(A \cap B) = \dfrac{ 2 }{20}$ . Calcule $P_B(A)$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$P_A(B) = \dfrac{ 1 }{10}$ , $P(A) = \dfrac{ 1 }{10}$ et $P(B) = \dfrac{ 1 }{20}$ . Calcule $P_B(A)$ .
$P_A(B) = \dfrac{ 7 }{10}$ , $P(A) = \dfrac{ 5 }{10}$ et $P(B) = \dfrac{ 7 }{20}$ . Calcule $P_B(A)$ .
$P_A(B) = \dfrac{ 1 }{10}$ , $P(A) = \dfrac{ 5 }{10}$ et $P(B) = \dfrac{ 1 }{20}$ . Calcule $P_B(A)$ .

Fiche résumé

Bayes

$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)P(A)}{P(B)}$ .
$P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont différentes.

Attention : pour un événement rare, beaucoup de positifs sont faux.

À propos de cette leçon