Espérance et écart type d'une loi binomiale

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

On lance 100 fois une pièce équilibrée. Combien de piles attend-on en moyenne ?

Une loi binomiale est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes.

Si

X

suit

\mathcal{B}(n ; p)

:

E(X) = np

,

V(X) = np(1 - p)

et

\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}

.

$X$ suit $\mathcal{B}(50 ; 0{,}3)$ .

E(X) = 15

np.

V(X) = 10{,}5

np(1 − p).

\sigma(X) \approx 3{,}24

Racine carrée.

À toi : $n = 200$ , $p = 0{,}1$ . Calcule l'espérance.

20

200 × 0,1.

$X$ suit la loi binomiale avec $n = 91$ et $p = \dfrac{1}{ 9 }$ . Calcule $E(X)$ .
$X$ suit la loi binomiale avec $n = 87$ et $p = \dfrac{1}{ 8 }$ . Calcule $E(X)$ .

$X$ suit la loi binomiale avec $n = 70$ et $p = \dfrac{1}{ 5 }$ . Calcule $\sigma(X)$ .
$X$ suit la loi binomiale avec $n = 71$ et $p = \dfrac{1}{ 2 }$ . Calcule $\sigma(X)$ .

Un QCM compte 87 questions à 4 réponses. Un élève répond au hasard à toutes. Que signifie $E(X) = \frac{87}{4}$ ?
1. Sur un grand nombre de QCM remplis au hasard, le nombre moyen de bonnes réponses est proche de \frac{87}{4}
2. L'élève aura exactement \frac{87}{4} bonnes réponses
3. \frac{87}{4} est le meilleur score possible

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$X$ suit la loi binomiale avec $n = 91$ et $p = \dfrac{1}{ 9 }$ . Calcule $E(X)$ .
$X$ suit la loi binomiale avec $n = 87$ et $p = \dfrac{1}{ 8 }$ . Calcule $E(X)$ .
$X$ suit la loi binomiale avec $n = 59$ et $p = \dfrac{1}{ 5 }$ . Calcule $E(X)$ .

Espérance et écart type

$E(X) = np$ et $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$ .

Attention : l'écart type est la racine carrée de $np(1 - p)$ .

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