Réciproque d'une fonction strictement monotone

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques complémentaires › Fonctions : continuité, dérivabilité, limites, logarithme

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Réciproque d'une fonction strictement monotone

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La fonction carré est strictement croissante sur [0;+∞[[0 ; +\infty[. Quelle fonction « défait » x↦x2x \mapsto x^2 sur cet intervalle ?

  1. x↦xx \mapsto \sqrt{x}
  2. x↦1x2x \mapsto \dfrac{1}{x^2}

L'idée clé

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle a une réciproque.

f−1(y)=x  ⟺  f(x)=yf^{-1}(y) = x \iff f(x) = y.

Les courbes de ff et de f−1f^{-1} sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=xy = x.

Exemple corrigé

f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1. Trouve f−1f^{-1}.

x=y−12x = \dfrac{y - 1}{2}
On résout y = 2x + 1.
f−1(x)=x−12f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2}
On renomme.

À toi, guidé

À toi : si f(3)=7f(3) = 7, que vaut f−1(7)f^{-1}(7) ?

33
On lit en sens inverse.

Entraînement ★

  1. Pour f(x)=6x+6f(x) = 6x + 6, trouve f−1(x)f^{-1}(x).
  2. Pour f(x)=6x+2f(x) = 6x + 2, trouve f−1(x)f^{-1}(x).
  3. Pour f(x)=2x+4f(x) = 2x + 4, trouve f−1(x)f^{-1}(x).

Attention !

Entraînement ★★

  1. On sait que f(8)=16f(8) = 16. Que vaut f−1(16)f^{-1}(16) ?
  2. On sait que f(5)=13f(5) = 13. Que vaut f−1(13)f^{-1}(13) ?
  1. Quelle est la fonction réciproque de exp⁡\exp ?
    1. ln⁡\ln
    2. x↦1exx \mapsto \dfrac{1}{\mathrm{e}^x}
    3. x↦−exx \mapsto -\mathrm{e}^x
  1. Sur son domaine, f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x. Calcule f−1(f(20))f^{-1}(f(20)).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour f(x)=6x+6f(x) = 6x + 6, trouve f−1(x)f^{-1}(x).
  2. Pour f(x)=6x+2f(x) = 6x + 2, trouve f−1(x)f^{-1}(x).
  3. Pour f(x)=2x+4f(x) = 2x + 4, trouve f−1(x)f^{-1}(x).

Fiche résumé

Réciproque

  • f−1(y)=x  ⟺  f(x)=yf^{-1}(y) = x \iff f(x) = y.
  • Symétrie par rapport à y=xy = x.

Attention : f−1f^{-1} n'est pas 1f\dfrac{1}{f}.

Fin de la leçon

Leçon suivante: Le logarithme népérien, réciproque de exp Retour au chapitre

Corrigé: Réciproque d'une fonction strictement monotone

A

  1. x6−1\frac{x}{6} - 1
  2. x6−13\frac{x}{6} - \frac{1}{3}
  3. x2−2\frac{x}{2} - 2

B

  1. 88
  2. 55

C

  1. ln⁡\ln

D

  1. 2020

E

  1. x6−1\frac{x}{6} - 1
  2. x6−13\frac{x}{6} - \frac{1}{3}
  3. x2−2\frac{x}{2} - 2

CC BY-SA 4.0