Fonction ln : dérivée, variations, limites

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe de $\ln$ est la symétrique de celle de $\exp$ par rapport à la droite $y = x$ . Vers quoi tend $\ln x$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives ?

$-\infty$
$0$

L'idée clé

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ .

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ , qui est positive : $\ln$ est strictement croissante. Pour $u > 0$ dérivable : $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ .

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ .

Exemple corrigé

Calcule la dérivée de $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ .

u'(x) = 2x

u(x) = x² + 1 est strictement positive.

f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}

(ln u)' = u'/u.

À toi, guidé

À toi : $f(x) = \ln(3x)$ pour $x > 0$ . Que vaut $f'(1)$ ?

f'(x) = \dfrac{1}{x}

u'/u = 3/(3x) = 1/x.

f'(1) = 1

On remplace x par 1.

Entraînement ★

$f(x) = \ln(8x + 9)$ pour $x > 0$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \ln(6x + 2)$ pour $x > 0$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \ln(7x + 8)$ pour $x > 0$ . Calcule $f'(x)$ .

Attention !

Entraînement ★★

Quelle est la limite de $8 + \ln x$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives ?
1. $-\infty$
2. $8$
3. $+\infty$
Quelle est la limite de $9 + \ln x$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives ?
1. $-\infty$
2. $9$
3. $+\infty$

$f(x) = x - 8\ln x$ pour $x > 0$ . En quelle valeur $f'$ s'annule-t-elle ?
$f(x) = x - 4\ln x$ pour $x > 0$ . En quelle valeur $f'$ s'annule-t-elle ?

$f(x) = \ln(x^2 + 4)$ . Calcule $f'(x)$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(x) = \ln(8x + 9)$ pour $x > 0$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \ln(6x + 2)$ pour $x > 0$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \ln(7x + 8)$ pour $x > 0$ . Calcule $f'(x)$ .

Fiche résumé

Fonction ln

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ et $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ .
Strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ .
Limites : $-\infty$ en 0, $+\infty$ en $+\infty$ .

Attention : $\ln$ tend vers $+\infty$ très lentement, mais il y tend.

À propos de cette leçon