Croissance comparée du logarithme et des puissances

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Pour $x = 1\,000\,000$ , $\ln x \approx 13{,}8$ . Que devient $\dfrac{\ln x}{x}$ en $+\infty$ ?

Il tend vers 0
Il tend vers $+\infty$

L'idée clé

En $+\infty$ , toute puissance de $x$ l'emporte sur $\ln x$ .

Pour tout entier $n \geq 1$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^n\ln x = 0$ (pour $x > 0$ ).

Exemple corrigé

Trouve la limite de $f(x) = x - \ln x$ en $+\infty$ .

f(x) = x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)

∞ − ∞ : on factorise par x.

La parenthèse tend vers

1

Croissance comparée.

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

+∞ × 1.

À toi, guidé

À toi : limite de $x\ln x$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives.

La limite est

0

Croissance comparée, avec n = 1.

Entraînement ★

Quelle est la limite de $8 + \dfrac{\ln x}{x^{ 2 }}$ en $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $9 + \dfrac{\ln x}{x^{ 3 }}$ en $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $8 + \dfrac{\ln x}{x^{ 1 }}$ en $+\infty$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Quelle est la limite de $x^{ 3 } - \ln x$ en $+\infty$ ?
1. $+\infty$
2. $0$
3. $-\infty$
Quelle est la limite de $x^{ 4 } - \ln x$ en $+\infty$ ?
1. $+\infty$
2. $0$
3. $-\infty$

Problème final. On étudie $f(x) = x - 6\ln x$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Quelle est la limite de $3 - \dfrac{\ln x}{x}$ en $+\infty$ ?

Quelle est la limite de $x\ln x$ en 0, par valeurs positives ?
1. 0
2. $-\infty$
3. $+\infty$

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quelle est la limite de $8 + \dfrac{\ln x}{x^{ 2 }}$ en $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $9 + \dfrac{\ln x}{x^{ 3 }}$ en $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $8 + \dfrac{\ln x}{x^{ 1 }}$ en $+\infty$ ?

Fiche résumé

Croissance comparée

$\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ en $+\infty$ .
$x^n\ln x \to 0$ en 0.

Attention : en cas de forme indéterminée, c'est la puissance de $x$ qui gagne sur $\ln x$ .

À propos de cette leçon