Fonctions : continuité, dérivabilité, limites, logarithme

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1. Limites à l'infini

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Que devient $\dfrac{1}{x}$ quand $x$ devient très grand : $\dfrac{1}{10}, \dfrac{1}{100}, \dfrac{1}{1000}, \dots$ ?

Il se rapproche de 0
Il n'a pas de limite, puisqu'il n'atteint jamais 0

L'idée clé

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ devient grand. La droite d'équation $y = \ell$ est alors asymptote horizontale à la courbe.

Pour un quotient de polynômes, on factorise en haut et en bas par le terme de plus haut degré. Degré du haut plus petit : limite 0. Degrés égaux : quotient des coefficients dominants. Degré du haut plus grand : limite infinie.

Exemple corrigé

Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{6x^2 - x}{2x^2 + 5}$ .

\dfrac{6 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{5}{x^2}}

On factorise par x² en haut et en bas, puis on simplifie.

Le quotient tend vers

\dfrac{6}{2}

1/x et 5/x² tendent vers 0.

La limite est

3

On simplifie.

À toi, guidé

À toi : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x + 1}{2x - 7}$ .

Quotient des coefficients dominants :

\dfrac{4}{2}

Même degré en haut et en bas.

La limite est

2

4 ÷ 2.

Entraînement ★

Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 4x^2 + 1}{ 5x^2 + 4}$ .
Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 2x^2 + 1}$ .
Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 5x^2 + 4}$ .

Attention !

Entraînement ★★

Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 6x + 3}{x^2 + 2}$ .
Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 9x + 6}{x^2 + 6}$ .
Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 7x + 6}{x^2 + 1}$ .

Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 5x^3}{x^2 + 5}$ ?
1. $+\infty$ : le quotient grandit sans limite
2. $5$
3. $0$
Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 2x^3}{x^2 + 2}$ ?
1. $+\infty$ : le quotient grandit sans limite
2. $2$
3. $0$

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 4x^2 + 1}{ 5x^2 + 4}$ .
Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 2x^2 + 1}$ .
Trouve $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 5x^2 + 4}$ .

Fiche résumé

Limites en l'infini

On factorise par le terme de plus haut degré.
Degré du haut plus petit : 0. Égaux : quotient des coefficients dominants. Plus grand : $\pm\infty$ .
Une limite finie $\ell$ donne l'asymptote $y = \ell$ .

Attention : ce ne sont pas les constantes qui décident de la limite en l'infini.

2. Limites infinies et asymptotes verticales

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Que devient $\dfrac{1}{x}$ quand $x$ se rapproche de 0 par valeurs positives : $\dfrac{1}{0{,}1}, \dfrac{1}{0{,}01}, \dots$ ?

Il grandit sans limite
Il se rapproche de 0

L'idée clé

Près d'une valeur qui annule le dénominateur, un quotient peut devenir très grand.

f(x)

grandit sans limite quand

x

tend vers

a

par la droite ou par la gauche, on écrit

\lim f(x) = +\infty

(ou

-\infty

) : la droite d'équation

x = a

est asymptote verticale. Pour le signe, on teste une valeur juste à droite ou à gauche de

a

Exemple corrigé

Trouve $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 3 \\ x < 3}} \dfrac{2}{x - 3}$ .

x - 3

est un petit nombre négatif.

Juste à gauche de 3, par exemple pour x = 2,99.

Le quotient est grand et négatif.

On divise 2 par ce nombre.

La limite est

-\infty

On écrit la limite.

À toi, guidé

À toi : $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 16}$ . Où sont les asymptotes verticales ?

x = 4

x = -4

x² − 16 = 0.

Asymptotes

x = 4

x = -4

Le numérateur n'y est pas nul. Tape la valeur négative.

Entraînement ★

Que vaut la limite de $\dfrac{ 7 }{x - 6}$ quand $x$ tend vers $6$ par la droite ( $x > 6$ ) ?
1. $+\infty$
2. $-\infty$
3. $0$
Que vaut la limite de $\dfrac{ 4 }{x - 3}$ quand $x$ tend vers $3$ par la droite ( $x > 3$ ) ?
1. $+\infty$
2. $-\infty$
3. $0$
Que vaut la limite de $\dfrac{ 6 }{x - 7}$ quand $x$ tend vers $7$ par la droite ( $x > 7$ ) ?
1. $+\infty$
2. $-\infty$
3. $0$

Attention !

Entraînement ★★

Que vaut la limite de $\dfrac{ 6 }{x - 8}$ quand $x$ tend vers $8$ par la gauche ( $x < 8$ ) ?
1. $+\infty$
2. $-\infty$
3. $0$
Que vaut la limite de $\dfrac{ 7 }{x - 2}$ quand $x$ tend vers $2$ par la gauche ( $x < 2$ ) ?
1. $+\infty$
2. $-\infty$
3. $0$
Que vaut la limite de $\dfrac{ 9 }{x - 5}$ quand $x$ tend vers $5$ par la gauche ( $x < 5$ ) ?
1. $+\infty$
2. $-\infty$
3. $0$

$f(x) = \dfrac{x + 8}{x^2 - 9}$ a des asymptotes verticales. Quelle est la valeur positive $c$ telle que $x = c$ soit asymptote ?
$f(x) = \dfrac{x + 4}{x^2 - 4}$ a des asymptotes verticales. Quelle est la valeur positive $c$ telle que $x = c$ soit asymptote ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Que vaut la limite de $\dfrac{ 6 }{x - 8}$ quand $x$ tend vers $8$ par la gauche ( $x < 8$ ) ?
1. $+\infty$
2. $-\infty$
3. $0$
Que vaut la limite de $\dfrac{ 7 }{x - 2}$ quand $x$ tend vers $2$ par la gauche ( $x < 2$ ) ?
1. $+\infty$
2. $-\infty$
3. $0$
Que vaut la limite de $\dfrac{ 9 }{x - 5}$ quand $x$ tend vers $5$ par la gauche ( $x < 5$ ) ?
1. $+\infty$
2. $-\infty$
3. $0$

Fiche résumé

Limites infinies

Dénominateur → 0, numérateur non nul : $\pm\infty$ , asymptote verticale.
On teste une valeur juste à côté de $a$ pour le signe.

Attention : à gauche et à droite de l'asymptote, les signes peuvent différer.

3. Continuité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On peut tracer la courbe d'une fonction continue sans lever le crayon. Laquelle de ces fonctions peut-on tracer ainsi près de $x = 0$ ?

$y = |x|$
$y = \dfrac{1}{x}$

L'idée clé

Être continue en un point, c'est n'y avoir ni trou, ni saut, ni asymptote.

f

est continue en $a$ si

f(a)

existe, si

\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)

existe, et si elles sont égales. Les polynômes,

\sin

\cos

\exp

|x|

sont continues sur

\mathbb{R}

; les quotients de polynômes sont continus là où ils sont définis.

Exemple corrigé

Pour quelle valeur de $k$ la fonction $f(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x < 2 \\ x^2 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$ est-elle continue ?

f(2) = 4

f(2) est donné par la seconde expression.

Quand

x

tend vers 2 par la gauche,

f(x)

tend vers

2 + k

La limite à gauche est donnée par la première.

2 + k = 4

, donc

k = 2

Elles doivent être égales.

À toi, guidé

À toi : $g(x) = \begin{cases} 3x & \text{si } x < 1 \\ x + m & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$ .

3 = 1 + m

Limite à gauche 3, valeur 1 + m.

m = 2

On résout.

Entraînement ★

Pour quelle valeur de $k$ la fonction $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 4x & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?
Pour quelle valeur de $k$ la fonction $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 8x & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?
Pour quelle valeur de $k$ la fonction $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 7x & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?

Attention !

Entraînement ★★

La fonction $f(x) = \dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$ est-elle continue en $x = 5$ ?
1. Non : $f(5)$ n'est pas défini
2. Oui : la limite existe, elle vaut $10$
3. Non : la limite n'existe pas
La fonction $f(x) = \dfrac{x^2 - 81}{x - 9}$ est-elle continue en $x = 9$ ?
1. Non : $f(9)$ n'est pas défini
2. Oui : la limite existe, elle vaut $18$
3. Non : la limite n'existe pas

Quelles fonctions sont continues pour tout réel $x$ ? Coche-les toutes.
1. $x^3 - 2x + 1$
2. $\sin x$
3. $|x|$
4. $\dfrac{1}{x}$
5. $\tan x$

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Pour quelle valeur de $k$ la fonction $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 4x & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?
Pour quelle valeur de $k$ la fonction $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 8x & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?
Pour quelle valeur de $k$ la fonction $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{si } x < 3 \\ 7x & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?

Fiche résumé

Continuité en $a$

$f(a)$ existe.
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe.
Elles sont égales.

Attention : que la limite existe ne suffit pas, $f(a)$ doit lui être égale.

4. Le théorème des valeurs intermédiaires

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

À 7 h, il faisait 4 °C ; à midi, 15 °C. La température varie de façon continue. A-t-il fait exactement 10 °C à un moment entre les deux ?

Oui, à un certain moment
Pas forcément

L'idée clé

Une fonction continue ne saute aucune valeur.

Théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a ; b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors l'équation $f(x) = k$ a au moins une solution dans $[a ; b]$ .

Si de plus $f$ est strictement monotone, cette solution est unique.

Exemple corrigé

Montre que $x^3 + x - 1 = 0$ a une unique solution dans $[0 ; 1]$ .

f(x) = x^3 + x - 1

est continue et strictement croissante.

Un polynôme est continu, et f'(x) = 3x² + 1 > 0.

f(0) = -1 < 0

f(1) = 1 > 0

On calcule aux bornes.

Il existe une unique solution dans

[0 ; 1]

Théorème avec k = 0, cas strictement monotone.

À toi, guidé

À toi : $f(x) = x^2 - 5$ sur $[2 ; 3]$ .

f(2) = -1

4 − 5.

f(3) = 4

: changement de signe, donc une solution (

\sqrt{5}

) entre les deux

9 − 5.

Entraînement ★

$f$ est continue sur $[1 ; 9]$ , avec $f(1) = -1$ et $f(9) = 7$ . La fonction $f$ s'annule-t-elle forcément entre 1 et 9 ?
1. Oui, d'après le théorème des valeurs intermédiaires
2. Seulement si $f$ est un polynôme
3. Seulement si $f$ est croissante
$f$ est continue sur $[3 ; 5]$ , avec $f(3) = -2$ et $f(5) = 2$ . La fonction $f$ s'annule-t-elle forcément entre 3 et 5 ?
1. Oui, d'après le théorème des valeurs intermédiaires
2. Seulement si $f$ est un polynôme
3. Seulement si $f$ est croissante

Attention !

Entraînement ★★

$f(x) = \dfrac{1}{x}$ vérifie $f(-4) < 0$ et $f(4) > 0$ . La fonction $f$ s'annule-t-elle sur $]-4 ; 4[$ ?
1. Non : $f$ n'est pas continue sur $[-4 ; 4]$ , le théorème ne s'applique pas
2. Oui, d'après le théorème des valeurs intermédiaires
3. Oui, en $x = 0$

$f(x) = x^3 + x - 3$ est continue. Entre quels entiers consécutifs $m$ et $m + 1$ s'annule-t-elle ? Donne $m$ .
$f(x) = x^3 + x - 11$ est continue. Entre quels entiers consécutifs $m$ et $m + 1$ s'annule-t-elle ? Donne $m$ .
$f(x) = x^3 + x - 31$ est continue. Entre quels entiers consécutifs $m$ et $m + 1$ s'annule-t-elle ? Donne $m$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(x) = x^3 + x - 3$ est continue. Entre quels entiers consécutifs $m$ et $m + 1$ s'annule-t-elle ? Donne $m$ .
$f(x) = x^3 + x - 11$ est continue. Entre quels entiers consécutifs $m$ et $m + 1$ s'annule-t-elle ? Donne $m$ .
$f(x) = x^3 + x - 31$ est continue. Entre quels entiers consécutifs $m$ et $m + 1$ s'annule-t-elle ? Donne $m$ .

Fiche résumé

Théorème des valeurs intermédiaires

Vérifier que $f$ est continue sur $[a ; b]$ .
Comparer $f(a)$ et $f(b)$ à $k$ (souvent 0).
Conclure à l'existence d'une solution ; à son unicité si $f$ est strictement monotone.

Attention : sans continuité, pas de conclusion.

5. Réciproque d'une fonction strictement monotone

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La fonction carré est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$ . Quelle fonction « défait » $x \mapsto x^2$ sur cet intervalle ?

$x \mapsto \sqrt{x}$
$x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$

L'idée clé

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle a une réciproque.

$f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$ .

Les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ .

Exemple corrigé

$f(x) = 2x + 1$ . Trouve $f^{-1}$ .

x = \dfrac{y - 1}{2}

On résout y = 2x + 1.

f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2}

On renomme.

À toi, guidé

À toi : si $f(3) = 7$ , que vaut $f^{-1}(7)$ ?

3

On lit en sens inverse.

Entraînement ★

Pour $f(x) = 6x + 6$ , trouve $f^{-1}(x)$ .
Pour $f(x) = 6x + 2$ , trouve $f^{-1}(x)$ .
Pour $f(x) = 2x + 4$ , trouve $f^{-1}(x)$ .

Attention !

Entraînement ★★

On sait que $f(8) = 16$ . Que vaut $f^{-1}(16)$ ?
On sait que $f(5) = 13$ . Que vaut $f^{-1}(13)$ ?

Quelle est la fonction réciproque de $\exp$ ?
1. $\ln$
2. $x \mapsto \dfrac{1}{\mathrm{e}^x}$
3. $x \mapsto -\mathrm{e}^x$

Sur son domaine, $f^{-1}(f(x)) = x$ . Calcule $f^{-1}(f(20))$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Pour $f(x) = 6x + 6$ , trouve $f^{-1}(x)$ .
Pour $f(x) = 6x + 2$ , trouve $f^{-1}(x)$ .
Pour $f(x) = 2x + 4$ , trouve $f^{-1}(x)$ .

Fiche résumé

Réciproque

$f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$ .
Symétrie par rapport à $y = x$ .

Attention : $f^{-1}$ n'est pas $\dfrac{1}{f}$ .

6. Le logarithme népérien, réciproque de exp

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante, de $]0 ; +\infty[$ pour valeurs. Pour $a > 0$ , combien l'équation $\mathrm{e}^x = a$ a-t-elle de solutions ?

Exactement une
Deux

L'idée clé

Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle.

Pour $a > 0$ , $\ln a$ est l'unique réel tel que $\mathrm{e}^{\ln a} = a$ .

$\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a$ . De plus, $\ln(\mathrm{e}^x) = x$ pour tout réel $x$ , $\ln 1 = 0$ et $\ln \mathrm{e} = 1$ .

Exemple corrigé

Résous $\ln x = 3$ .

x = \mathrm{e}^3

On applique exp aux deux membres : exp et ln sont réciproques.

\mathrm{e}^3 > 0

: la solution convient.

La solution est bien positive.

À toi, guidé

À toi : simplifie $\ln(\mathrm{e}^{5})$ .

5

ln et exp sont réciproques.

Entraînement ★

Résous $\ln x = 4$ .
Résous $\ln x = 6$ .
Résous $\ln x = 1$ .

Attention !

Entraînement ★★

Résous $\ln x = 4$ .
Résous $\ln x = 6$ .

Calcule $\ln(\mathrm{e}^{ 4 })$ .

Calcule $\mathrm{e}^{\ln 19}$ .

Sur quel intervalle a-t-on $\ln x < 0$ ?
1. $]0 ; 1[$
2. $]-\infty ; 0[$
3. $]1 ; +\infty[$

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Résous $\ln x = 4$ .
Résous $\ln x = 6$ .
Résous $\ln x = 1$ .

Fiche résumé

Logarithme népérien

$\ln$ est défini sur $]0 ; +\infty[$ .
$\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a$ (avec $a > 0$ ).
$\ln 1 = 0$ et $\ln \mathrm{e} = 1$ .

Attention : $\ln$ d'un nombre négatif ou nul n'existe pas.

7. Propriétés algébriques du logarithme népérien

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Avec une calculatrice : $\ln 2 \approx 0{,}69$ et $\ln 3 \approx 1{,}10$ . Lequel de ces nombres vaut environ $1{,}79$ ?

$\ln 6$
$\ln 5$

L'idée clé

Le logarithme transforme les produits en sommes.

Pour $a > 0$ et $b > 0$ , et $n$ entier relatif :

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln \dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$ ; $\ln \dfrac{1}{b} = -\ln b$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$ ; $\ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a$ .

Exemple corrigé

Écris $A = \ln 12 - 2\ln 2$ sous la forme $\ln c$ .

A = \ln 12 - \ln 4

n ln a = ln(aⁿ).

A = \ln \dfrac{12}{4}

Différence : ln du quotient.

A = \ln 3

12 ÷ 4.

À toi, guidé

À toi : simplifie $\ln 5 + \ln 2 - \ln 10$ .

\ln 10 - \ln 10

Somme : ln du produit.

0

La différence.

Entraînement ★

On écrit $\ln(2^{ 7 }) = c\ln 2$ . Quelle est la valeur de $c$ ?
On écrit $\ln(3^{ 6 }) = c\ln 3$ . Quelle est la valeur de $c$ ?
On écrit $\ln(2^{ 8 }) = c\ln 2$ . Quelle est la valeur de $c$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Quelle expression est égale à $\ln(2 \times 5)$ ?
1. $\ln 2 + \ln 5$
2. $\ln 2 \times \ln 5$
3. $\ln(2 + 5)$
Quelle expression est égale à $\ln(6 \times 8)$ ?
1. $\ln 6 + \ln 8$
2. $\ln 6 \times \ln 8$
3. $\ln(6 + 8)$

Exprime $\ln 9 - \ln 3$ en fonction de $\ln 3$ : il s'écrit $c\ln 3$ . Quelle est la valeur de $c$ ?
Exprime $\ln 16807 - \ln 7$ en fonction de $\ln 7$ : il s'écrit $c\ln 7$ . Quelle est la valeur de $c$ ?

$\ln\dfrac{1}{ 3 } = c\ln 3$ . Quelle est la valeur de $c$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

On écrit $\ln(2^{ 7 }) = c\ln 2$ . Quelle est la valeur de $c$ ?
On écrit $\ln(3^{ 6 }) = c\ln 3$ . Quelle est la valeur de $c$ ?
On écrit $\ln(2^{ 8 }) = c\ln 2$ . Quelle est la valeur de $c$ ?

Fiche résumé

Propriétés de ln ( $a, b > 0$ )

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ .
$\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$ .
$\ln(a^n) = n\ln a$ .

Attention : il n'y a pas de formule pour $\ln(a + b)$ .

8. Fonction ln : dérivée, variations, limites

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe de $\ln$ est la symétrique de celle de $\exp$ par rapport à la droite $y = x$ . Vers quoi tend $\ln x$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives ?

$-\infty$
$0$

L'idée clé

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ .

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ , qui est positive : $\ln$ est strictement croissante. Pour $u > 0$ dérivable : $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ .

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ .

Exemple corrigé

Calcule la dérivée de $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ .

u'(x) = 2x

u(x) = x² + 1 est strictement positive.

f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}

(ln u)' = u'/u.

À toi, guidé

À toi : $f(x) = \ln(3x)$ pour $x > 0$ . Que vaut $f'(1)$ ?

f'(x) = \dfrac{1}{x}

u'/u = 3/(3x) = 1/x.

f'(1) = 1

On remplace x par 1.

Entraînement ★

$f(x) = \ln(8x + 9)$ pour $x > 0$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \ln(6x + 2)$ pour $x > 0$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \ln(7x + 8)$ pour $x > 0$ . Calcule $f'(x)$ .

Attention !

Entraînement ★★

Quelle est la limite de $8 + \ln x$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives ?
1. $-\infty$
2. $8$
3. $+\infty$
Quelle est la limite de $9 + \ln x$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives ?
1. $-\infty$
2. $9$
3. $+\infty$

$f(x) = x - 8\ln x$ pour $x > 0$ . En quelle valeur $f'$ s'annule-t-elle ?
$f(x) = x - 4\ln x$ pour $x > 0$ . En quelle valeur $f'$ s'annule-t-elle ?

$f(x) = \ln(x^2 + 4)$ . Calcule $f'(x)$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(x) = \ln(8x + 9)$ pour $x > 0$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \ln(6x + 2)$ pour $x > 0$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \ln(7x + 8)$ pour $x > 0$ . Calcule $f'(x)$ .

Fiche résumé

Fonction ln

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ et $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ .
Strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ .
Limites : $-\infty$ en 0, $+\infty$ en $+\infty$ .

Attention : $\ln$ tend vers $+\infty$ très lentement, mais il y tend.

9. Équations et inéquations avec ln et exp

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quelle est la première chose à vérifier avant de résoudre $\ln(x - 3) = 2$ ?

Que $x - 3 > 0$
Que $x > 0$

L'idée clé

$\ln$ et $\exp$ sont strictement croissantes : elles conservent l'ordre.

Pour $a, b > 0$ : $\ln a = \ln b \iff a = b$ et $\ln a < \ln b \iff a < b$ .

$\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$ .

Méthode : on écrit la condition d'existence, on résout, puis on vérifie que les solutions la respectent.

Exemple corrigé

Résous $\ln x + \ln(x - 2) = \ln 15$ .

Condition :

x > 2

Il faut x > 0 et x − 2 > 0.

x(x - 2) = 15

Somme : ln du produit, et ln est injective.

x = 5

x = -3

On résout le second degré.

La seule solution est

x = 5

−3 ne respecte pas x > 2.

À toi, guidé

À toi : résous $\ln(x - 3) = \ln 7$ .

x - 3 = 7

ln est injective.

x = 10

On ajoute 3. Vérification : 10 − 3 > 0.

Entraînement ★

Résous $\ln(x - 7) = \ln 5$ .
Résous $\ln(x - 1) = \ln 8$ .
Résous $\ln(x - 2) = \ln 10$ .

Attention !

Entraînement ★★

Résous l'inéquation $\ln x < \ln 8$ .
Résous l'inéquation $\ln x < \ln 17$ .
Résous l'inéquation $\ln x < \ln 14$ .

Résous $\ln x + \ln(x - 2) = \ln 8$ . Donne toutes les solutions.

Résous $\ln(5x) = \ln 35$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Résous $\ln(x - 7) = \ln 5$ .
Résous $\ln(x - 1) = \ln 8$ .
Résous $\ln(x - 2) = \ln 10$ .

Fiche résumé

Équations et inéquations

Écrire la condition d'existence.
Résoudre en utilisant la croissance de $\ln$ ou de $\exp$ .
Garder les solutions qui respectent la condition.

Attention : une solution de l'équation transformée n'est pas toujours une solution de départ.

10. Croissance comparée du logarithme et des puissances

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Pour $x = 1\,000\,000$ , $\ln x \approx 13{,}8$ . Que devient $\dfrac{\ln x}{x}$ en $+\infty$ ?

Il tend vers 0
Il tend vers $+\infty$

L'idée clé

En $+\infty$ , toute puissance de $x$ l'emporte sur $\ln x$ .

Pour tout entier $n \geq 1$ : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^n\ln x = 0$ (pour $x > 0$ ).

Exemple corrigé

Trouve la limite de $f(x) = x - \ln x$ en $+\infty$ .

f(x) = x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)

∞ − ∞ : on factorise par x.

La parenthèse tend vers

1

Croissance comparée.

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

+∞ × 1.

À toi, guidé

À toi : limite de $x\ln x$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives.

La limite est

0

Croissance comparée, avec n = 1.

Entraînement ★

Quelle est la limite de $8 + \dfrac{\ln x}{x^{ 2 }}$ en $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $9 + \dfrac{\ln x}{x^{ 3 }}$ en $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $8 + \dfrac{\ln x}{x^{ 1 }}$ en $+\infty$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Quelle est la limite de $x^{ 3 } - \ln x$ en $+\infty$ ?
1. $+\infty$
2. $0$
3. $-\infty$
Quelle est la limite de $x^{ 4 } - \ln x$ en $+\infty$ ?
1. $+\infty$
2. $0$
3. $-\infty$

Problème final. On étudie $f(x) = x - 6\ln x$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Quelle est la limite de $3 - \dfrac{\ln x}{x}$ en $+\infty$ ?

Quelle est la limite de $x\ln x$ en 0, par valeurs positives ?
1. 0
2. $-\infty$
3. $+\infty$

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quelle est la limite de $8 + \dfrac{\ln x}{x^{ 2 }}$ en $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $9 + \dfrac{\ln x}{x^{ 3 }}$ en $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $8 + \dfrac{\ln x}{x^{ 1 }}$ en $+\infty$ ?

Fiche résumé

Croissance comparée

$\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ en $+\infty$ .
$x^n\ln x \to 0$ en 0.

Attention : en cas de forme indéterminée, c'est la puissance de $x$ qui gagne sur $\ln x$ .

11. Dérivée d'une fonction composée

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de $y = \sin x$ ; la bleue, celle de $y = \sin(kx)$ . Augmente $k$ .

Les courbes de y = sin x et y = sin(kx). Pour k = 2, la courbe bleue oscille deux fois plus vite et sa pente maximale vaut 2 au lieu de 1.

Pour $k = 2$ , la courbe bleue va deux fois plus vite. Quel est le coefficient directeur de la tangente à $y = \sin(2x)$ en $x = 0$ ?

L'idée clé

Pour une fonction composée : on dérive la fonction extérieure en gardant l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.

Dérivée d'une composée :

(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'

, c'est-à-dire

\big(v(u(x))\big)' = v'(u(x)) \times u'(x)

Exemple corrigé

$h(x) = (x^2 + 1)^5$ . Calcule $h'(x)$ .

v(u) = u^5

u(x) = x^2 + 1

À l'extérieur la puissance 5, à l'intérieur x² + 1.

h'(x) = 5(x^2 + 1)^4 \times 2x

v'(u) = 5u⁴ en gardant l'intérieur, et u'(x) = 2x.

h'(x) = 10x(x^2 + 1)^4

On ordonne.

À toi, guidé

À toi : $h(x) = \mathrm{e}^{3x}$ .

h'(x) = 3\mathrm{e}^{3x}

À l'extérieur exp, à l'intérieur 3x : on multiplie par 3.

Entraînement ★

$f(x) = (6x + 7)^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = (7x + 6)^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = (3x + 5)^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .

Attention !

Entraînement ★★

$f(x) = \sin(4x^2)$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \sin(6x^2)$ . Calcule $f'(x)$ .

$f(x) = \mathrm{e}^{ 5x^2}$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \mathrm{e}^{ 4x^2}$ . Calcule $f'(x)$ .

Problème final. $h(x) = x^{ 3 }\sin(4x)$ . Cherche le coefficient directeur de la tangente à sa courbe en $x = \dfrac{\pi}{ 4 }$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(x) = (6x + 7)^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = (7x + 6)^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = (3x + 5)^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .

Fiche résumé

Dérivée d'une composée

$(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ : dérivée de l'extérieur (intérieur gardé) fois dérivée de l'intérieur.

Attention : ne pas oublier le facteur $u'(x)$ .

Corrigé: Fonctions : continuité, dérivabilité, limites, logarithme

1. Limites à l'infini

$\frac{4}{5}$
$\frac{3}{2}$
$\frac{3}{5}$

$+\infty$ : le quotient grandit sans limite
$+\infty$ : le quotient grandit sans limite

$\frac{4}{5}$
$\frac{3}{2}$
$\frac{3}{5}$

2. Limites infinies et asymptotes verticales

$+\infty$
$+\infty$
$+\infty$

$-\infty$
$-\infty$
$-\infty$

$-\infty$
$-\infty$
$-\infty$

3. Continuité

$3$
$15$
$12$

Non : $f(5)$ n'est pas défini
Non : $f(9)$ n'est pas défini

$x^3 - 2x + 1$ · $\sin x$ · $|x|$

$3$
$15$
$12$

4. Le théorème des valeurs intermédiaires

Oui, d'après le théorème des valeurs intermédiaires
Oui, d'après le théorème des valeurs intermédiaires

Non : $f$ n'est pas continue sur $[-4 ; 4]$ , le théorème ne s'applique pas

5. Réciproque d'une fonction strictement monotone

$\frac{x}{6} - 1$
$\frac{x}{6} - \frac{1}{3}$
$\frac{x}{2} - 2$

$\ln$

$20$

$\frac{x}{6} - 1$
$\frac{x}{6} - \frac{1}{3}$
$\frac{x}{2} - 2$

6. Le logarithme népérien, réciproque de exp

$e^{4}$
$e^{6}$
$e$

$e^{4}$
$e^{6}$

$19$

$]0 ; 1[$

$e^{4}$
$e^{6}$
$e$

7. Propriétés algébriques du logarithme népérien

$\ln 2 + \ln 5$
$\ln 6 + \ln 8$

$-1$

8. Fonction ln : dérivée, variations, limites

$\frac{8}{8 x + 9}$
$\frac{6}{6 x + 2}$
$\frac{7}{7 x + 8}$

$-\infty$
$-\infty$

$\frac{2 x}{x^{2} + 4}$

$\frac{8}{8 x + 9}$
$\frac{6}{6 x + 2}$
$\frac{7}{7 x + 8}$

9. Équations et inéquations avec ln et exp

$12$
$9$
$12$

$]0\,;\,8[$
$]0\,;\,17[$
$]0\,;\,14[$

$12$
$9$
$12$

10. Croissance comparée du logarithme et des puissances

$+\infty$
$+\infty$

$6 - 6 \ln{\left(6 \right)}$

11. Dérivée d'une fonction composée

$24 \left(6 x + 7\right)^{3}$
$28 \left(7 x + 6\right)^{3}$
$12 \left(3 x + 5\right)^{3}$

$8 x \cos{\left(4 x^{2} \right)}$
$12 x \cos{\left(6 x^{2} \right)}$

$10 x e^{5 x^{2}}$
$8 x e^{4 x^{2}}$

$- \frac{\pi^{3}}{16}$

$24 \left(6 x + 7\right)^{3}$
$28 \left(7 x + 6\right)^{3}$
$12 \left(3 x + 5\right)^{3}$