Valeur moyenne d'une fonction

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de $y = x^2$ sur $[0 ; 3]$ ; la droite bleue est $y = a$ . Déplace $a$ pour que le rectangle sous la droite sur $[0 ; 3]$ ait la même aire que le domaine sous la courbe, $\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = 9$ .

La parabole y = x² sur [0 ; 3] et une droite horizontale y = a. Pour a = 3, le rectangle de largeur 3 sous la droite a une aire de 9, la même que sous la courbe.

Quelle hauteur $a$ convient ?

$a = 3$
$a = 4{,}5$

L'idée clé

La valeur moyenne est la hauteur du rectangle de même aire.

La valeur moyenne de

f

sur

[a ; b]

est

\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

Exemple corrigé

Valeur moyenne de $f(x) = 2x + 1$ sur $[0 ; 4]$ .

\displaystyle\int_0^4 (2x + 1)\,\mathrm{d}x = 20

F(x) = x² + x.

Valeur moyenne :

\dfrac{20}{4} = 5

On divise par la longueur, 4.

À toi, guidé

À toi : valeur moyenne de $f(x) = 3x^2$ sur $[0 ; 2]$ .

Valeur moyenne :

4

L'intégrale vaut 8 ; on divise par 2.

Entraînement ★

Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 3]$ .
Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 6]$ .
Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 2]$ .

Attention !

Entraînement ★★

$v(t) = 3t + 6$ , en m/s. Calcule la vitesse moyenne sur $[0 ; 8]$ , en m/s.
$v(t) = 3t + 1$ , en m/s. Calcule la vitesse moyenne sur $[0 ; 7]$ , en m/s.

Calcule la valeur moyenne de $f(x) = 6\sin x$ sur $[0 ; \pi]$ . Donne la valeur exacte.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 3]$ .
Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 6]$ .
Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 2]$ .

Fiche résumé

Valeur moyenne

$\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Attention : on divise par la longueur ; on ne fait pas la moyenne des valeurs aux extrémités.

Fin de la leçon

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