Aire entre deux courbes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de $y = x^2$ , la droite bleue celle de $y = kx$ . Elles délimitent un domaine entre $x = 0$ et $x = k$ . Fais varier $k$ .

La droite y = kx et la parabole y = x². Elles se coupent en x = 0 et x = k ; entre ces valeurs, la droite est au-dessus.

Sur $[0 ; k]$ , quelle courbe est au-dessus ?

La droite $y = kx$
La parabole $y = x^2$

L'idée clé

Aire entre deux courbes : on intègre la différence, « haut moins bas ».

Si

f(x) \geq g(x)

sur

[a ; b]

, l'aire comprise entre les deux courbes est

\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x

. Les bornes sont souvent les abscisses des points d'intersection.

Exemple corrigé

Aire du domaine compris entre $y = 2x$ et $y = x^2$ .

Bornes :

0

et

2

2x = x² en 0 et en 2.

\displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,\mathrm{d}x

Haut moins bas.

= 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}

Primitive x² − x³/3, de 0 à 2.

À toi, guidé

À toi : aire du domaine compris entre $y = 3x$ et $y = x^2$ .

\dfrac{9}{2}

3³/6.

Entraînement ★

Calcule l'aire du domaine compris entre $y = 5x$ et $y = x^2$ .
Calcule l'aire du domaine compris entre $y = 4x$ et $y = x^2$ .
Calcule l'aire du domaine compris entre $y = 1x$ et $y = x^2$ .

Attention !

Entraînement ★★

Calcule l'aire du domaine compris entre $y = x^2$ et $y = 4x - x^2$ .
Calcule l'aire du domaine compris entre $y = x^2$ et $y = 2x - x^2$ .

Calcule l'aire comprise entre $y = 1\cos x$ et $y = 1\sin x$ pour $0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{4}$ . Donne la valeur exacte.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule l'aire du domaine compris entre $y = 5x$ et $y = x^2$ .
Calcule l'aire du domaine compris entre $y = 4x$ et $y = x^2$ .
Calcule l'aire du domaine compris entre $y = 1x$ et $y = x^2$ .

Fiche résumé

Aire entre deux courbes

Chercher les points d'intersection.
Voir quelle courbe est au-dessus.
Intégrer « haut moins bas ».

Attention : un résultat négatif signifie que l'ordre est inversé.

À propos de cette leçon