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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Avec le corrigé

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1. L'intégrale et ses propriétés

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$\displaystyle\int_0^2 (-3)\,\mathrm{d}x$ : la droite $y = -3$ est sous l'axe des abscisses. Que vaut l'intégrale ?

$-6$
$6$

L'idée clé

Pour $f$ continue et positive sur $[a ; b]$ , l'intégrale est l'aire sous la courbe, en unités d'aire.

Propriétés de $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ :

Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ . Bornes échangées : $\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f$ . Linéarité : $\displaystyle\int_a^b (kf + g) = k\int_a^b f + \int_a^b g$ . Constante : $\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a)$ .

Exemple corrigé

$\displaystyle\int_0^4 f = 5$ et $\displaystyle\int_4^6 f = -2$ . Calcule $\displaystyle\int_0^6 \big(2f(x) - 1\big)\,\mathrm{d}x$ .

\displaystyle\int_0^6 f = 5 + (-2) = 3

Relation de Chasles.

2 \times 3 - 1 \times 6

Linéarité ; la constante −1 sur une longueur de 6.

= 0

On calcule.

À toi, guidé

À toi : avec la même fonction $f$ , calcule $\displaystyle\int_6^0 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

-3

On échange les bornes : le signe change.

Entraînement ★

$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 7$ et $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = -4$ . Calcule $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = -7$ et $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 8$ . Calcule $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Utilise la géométrie : calcule $\displaystyle\int_{-6}^{ 6 } \sqrt{ 36 - x^2}\,\mathrm{d}x$ .
Utilise la géométrie : calcule $\displaystyle\int_{-1}^{ 1 } \sqrt{ 1 - x^2}\,\mathrm{d}x$ .

Attention !

Entraînement ★★

$\displaystyle\int_0^{ 4 } f(x)\,\mathrm{d}x = 3$ . Calcule $\displaystyle\int_0^{ 4 } \big(3f(x) + 2\big)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_0^{ 9 } f(x)\,\mathrm{d}x = 4$ . Calcule $\displaystyle\int_0^{ 9 } \big(3f(x) + 2\big)\,\mathrm{d}x$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 7$ et $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = -4$ . Calcule $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = -7$ et $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 8$ . Calcule $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ et $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 7$ . Calcule $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Fiche résumé

Intégrale

Aire algébrique : sous l'axe, elle est négative.
Bornes échangées : le signe change. Intervalles voisins : on additionne (Chasles).
$\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a)$ .

Attention : une constante s'intègre sur toute la longueur.

2. Méthode des rectangles

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On approche l'aire sous la courbe de $y = x$ sur $[0 ; 1]$ par 2 rectangles de largeur $0{,}5$ , en prenant la hauteur à gauche. Quelle aire trouve-t-on ?

$0{,}25$
$0{,}5$

L'idée clé

Une somme de rectangles approche l'intégrale.

Avec $n$ rectangles de largeur $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$ : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \sum_{i = 1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ .

Plus $n$ est grand, meilleure est l'approximation.

Exemple corrigé

Approche $\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x$ avec 2 rectangles, hauteur à droite.

\Delta x = 1

Largeur : 2/2.

1 \times 1 + 1 \times 4

Hauteurs f(1) et f(2).

5

On calcule.

À toi, guidé

À toi : quelle est la largeur $\Delta x$ pour 10 rectangles sur $[0 ; 5]$ ?

0{,}5

5 / 10.

Entraînement ★

On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 3 rectangles, hauteur à gauche. Quelle somme obtient-on ?
On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 9 rectangles, hauteur à gauche. Quelle somme obtient-on ?
On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 2 rectangles, hauteur à gauche. Quelle somme obtient-on ?

Attention !

Entraînement ★★

Quelle est la largeur de chaque rectangle pour 4 rectangles sur $[4 ; 16]$ ?
Quelle est la largeur de chaque rectangle pour 3 rectangles sur $[1 ; 16]$ ?

On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 5 rectangles, hauteur à droite. Quelle est la valeur obtenue ?

$f$ est croissante sur $[a ; b]$ . Comment la méthode des rectangles à gauche se compare-t-elle à l'intégrale ?
1. Elle la sous-estime
2. Elle la surestime
3. Elle lui est toujours égale

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 3 rectangles, hauteur à gauche. Quelle somme obtient-on ?
On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 9 rectangles, hauteur à gauche. Quelle somme obtient-on ?
On approche $\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ avec 2 rectangles, hauteur à gauche. Quelle somme obtient-on ?

Fiche résumé

Méthode des rectangles

$\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$ .
Somme des $f(x_i)\Delta x$ .

Attention : multiplie par la largeur.

3. Valeur moyenne d'une fonction

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de $y = x^2$ sur $[0 ; 3]$ ; la droite bleue est $y = a$ . Déplace $a$ pour que le rectangle sous la droite sur $[0 ; 3]$ ait la même aire que le domaine sous la courbe, $\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = 9$ .

La parabole y = x² sur [0 ; 3] et une droite horizontale y = a. Pour a = 3, le rectangle de largeur 3 sous la droite a une aire de 9, la même que sous la courbe.

Quelle hauteur $a$ convient ?

$a = 3$
$a = 4{,}5$

L'idée clé

La valeur moyenne est la hauteur du rectangle de même aire.

La valeur moyenne de

f

sur

[a ; b]

est

\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

Exemple corrigé

Valeur moyenne de $f(x) = 2x + 1$ sur $[0 ; 4]$ .

\displaystyle\int_0^4 (2x + 1)\,\mathrm{d}x = 20

F(x) = x² + x.

Valeur moyenne :

\dfrac{20}{4} = 5

On divise par la longueur, 4.

À toi, guidé

À toi : valeur moyenne de $f(x) = 3x^2$ sur $[0 ; 2]$ .

Valeur moyenne :

4

L'intégrale vaut 8 ; on divise par 2.

Entraînement ★

Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 3]$ .
Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 6]$ .
Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 2]$ .

Attention !

Entraînement ★★

$v(t) = 3t + 6$ , en m/s. Calcule la vitesse moyenne sur $[0 ; 8]$ , en m/s.
$v(t) = 3t + 1$ , en m/s. Calcule la vitesse moyenne sur $[0 ; 7]$ , en m/s.

Calcule la valeur moyenne de $f(x) = 6\sin x$ sur $[0 ; \pi]$ . Donne la valeur exacte.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 3]$ .
Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 6]$ .
Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 2]$ .

Fiche résumé

Valeur moyenne

$\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Attention : on divise par la longueur ; on ne fait pas la moyenne des valeurs aux extrémités.

4. Fonctions intégrales : le théorème fondamental, partie 2

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$g(x) = \displaystyle\int_0^x 2t\,\mathrm{d}t$ est l'aire sous la droite $y = 2t$ entre 0 et $x$ , soit $x^2$ . Que vaut $g'(x)$ ?

$2x$
$x^2$

L'idée clé

L'aire grandit au rythme de la hauteur de la courbe.

f

est continue et positive sur

[a ; b]

, la fonction

F_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t

est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ :

F_a' = f

F_a(a) = 0

Exemple corrigé

$g(x) = \displaystyle\int_1^{x} \sqrt{t}\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ et $g(1)$ .

g'(x) = \sqrt{x}

g est la primitive de √t qui s'annule en 1.

g(1) = 0

La borne du haut et celle du bas sont égales.

À toi, guidé

À toi : $g(x) = \displaystyle\int_2^x (t^3 - t)\,\mathrm{d}t$ .

g'(x) = x^3 - x

g est une primitive de t³ − t.

Entraînement ★

$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 2 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 1 }^{x} (t^{ 3 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 3 } + 1)\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ .

Attention !

Entraînement ★★

Voici la courbe de $y = f(t)$ . Soit $g(x) = \displaystyle\int_{-5}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ . Touche le point de cette courbe dont l'abscisse correspond à un maximum local de $g$ .
Voici la courbe de $y = f(t)$ . Soit $g(x) = \displaystyle\int_{-5}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ . Touche le point de cette courbe dont l'abscisse correspond à un maximum local de $g$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 2 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 1 }^{x} (t^{ 3 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 3 } + 1)\,\mathrm{d}t$ . Calcule $g'(x)$ .

Fiche résumé

Fonction intégrale

$F_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ .
$F_a$ croît là où $f > 0$ et décroît là où $f < 0$ .

Attention : la dérivée redonne $f$ , pas une primitive de $f$ .

5. Le théorème fondamental de l'analyse : calculer une intégrale

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$v(t)$ est une vitesse et $s(t)$ la position, donc $s' = v$ . L'aire sous la courbe de $v$ sur $[a ; b]$ est la variation de position. Quelle expression lui correspond ?

$s(b) - s(a)$
$s(a) - s(b)$

L'idée clé

Pour calculer une intégrale, on utilise une primitive.

f

est continue sur

[a ; b]

et si

F

est une primitive de

f

, alors

\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)

Exemple corrigé

Calcule $\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 1)\,\mathrm{d}x$ .

F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x

Une primitive.

F(3) - F(1) = 12 - \dfrac{4}{3}

F(3) = 12 et F(1) = 4/3.

= \dfrac{32}{3}

On calcule.

À toi, guidé

À toi : $\displaystyle\int_0^2 3x^2\,\mathrm{d}x$ .

= 8

F(x) = x³ : F(2) − F(0).

Entraînement ★

Calcule $\displaystyle\int_0^{ 5 } x^2\,\mathrm{d}x$ .
Calcule $\displaystyle\int_0^{ 9 } x^2\,\mathrm{d}x$ .
Calcule $\displaystyle\int_0^{ 8 } x^2\,\mathrm{d}x$ .

Attention !

Entraînement ★★

Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/5} \cos x\,\mathrm{d}x$ . Donne la valeur exacte.
Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/3} \cos x\,\mathrm{d}x$ . Donne la valeur exacte.

Calcule $\displaystyle\int_{ -1 }^{ 4 } (2x + 9)\,\mathrm{d}x$ .
Calcule $\displaystyle\int_{ 1 }^{ 4 } (2x + 7)\,\mathrm{d}x$ .

Problème final. Calcule l'aire du domaine compris entre la parabole $y = 4 - x^2$ et l'axe des abscisses.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule $\displaystyle\int_{ -1 }^{ 4 } (2x + 9)\,\mathrm{d}x$ .
Calcule $\displaystyle\int_{ 1 }^{ 4 } (2x + 7)\,\mathrm{d}x$ .
Calcule $\displaystyle\int_{ -2 }^{ 5 } (2x + 8)\,\mathrm{d}x$ .

Fiche résumé

Calcul d'une intégrale

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$ , avec $F' = f$ .

Attention : borne du haut moins borne du bas ; vérifie les signes de la primitive.

6. Aire entre deux courbes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de $y = x^2$ , la droite bleue celle de $y = kx$ . Elles délimitent un domaine entre $x = 0$ et $x = k$ . Fais varier $k$ .

La droite y = kx et la parabole y = x². Elles se coupent en x = 0 et x = k ; entre ces valeurs, la droite est au-dessus.

Sur $[0 ; k]$ , quelle courbe est au-dessus ?

La droite $y = kx$
La parabole $y = x^2$

L'idée clé

Aire entre deux courbes : on intègre la différence, « haut moins bas ».

f(x) \geq g(x)

sur

[a ; b]

, l'aire comprise entre les deux courbes est

\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x

. Les bornes sont souvent les abscisses des points d'intersection.

Exemple corrigé

Aire du domaine compris entre $y = 2x$ et $y = x^2$ .

Bornes :

0

2

2x = x² en 0 et en 2.

\displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,\mathrm{d}x

Haut moins bas.

= 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}

Primitive x² − x³/3, de 0 à 2.

À toi, guidé

À toi : aire du domaine compris entre $y = 3x$ et $y = x^2$ .

\dfrac{9}{2}

3³/6.

Entraînement ★

Calcule l'aire du domaine compris entre $y = 5x$ et $y = x^2$ .
Calcule l'aire du domaine compris entre $y = 4x$ et $y = x^2$ .
Calcule l'aire du domaine compris entre $y = 1x$ et $y = x^2$ .

Attention !

Entraînement ★★

Calcule l'aire du domaine compris entre $y = x^2$ et $y = 4x - x^2$ .
Calcule l'aire du domaine compris entre $y = x^2$ et $y = 2x - x^2$ .

Calcule l'aire comprise entre $y = 1\cos x$ et $y = 1\sin x$ pour $0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{4}$ . Donne la valeur exacte.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule l'aire du domaine compris entre $y = 5x$ et $y = x^2$ .
Calcule l'aire du domaine compris entre $y = 4x$ et $y = x^2$ .
Calcule l'aire du domaine compris entre $y = 1x$ et $y = x^2$ .

Fiche résumé

Aire entre deux courbes

Chercher les points d'intersection.
Voir quelle courbe est au-dessus.
Intégrer « haut moins bas ».

Attention : un résultat négatif signifie que l'ordre est inversé.

Corrigé: Intégration

1. L'intégrale et ses propriétés

$-3$
$-1$

$18 \pi$
$\frac{\pi}{2}$

$17$
$30$

$-3$
$-1$
$-12$

2. Méthode des rectangles

$\frac{1}{3}$
$\frac{4}{9}$
$\frac{1}{4}$

$\frac{3}{5}$

Elle la sous-estime

$\frac{1}{3}$
$\frac{4}{9}$
$\frac{1}{4}$

3. Valeur moyenne d'une fonction

$3$
$12$
$\frac{4}{3}$

$18$
$\frac{23}{2}$

$\frac{12}{\pi}$

$3$
$12$
$\frac{4}{3}$

4. Fonctions intégrales : le théorème fondamental, partie 2

$x^{2} + 2$
$x^{3} + 2$
$x^{3} + 1$

$(3, 0)$
$(1, 0)$

$x^{2} + 2$
$x^{3} + 2$
$x^{3} + 1$

5. Le théorème fondamental de l'analyse : calculer une intégrale

$\frac{125}{3}$
$243$
$\frac{512}{3}$

$\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$60$
$36$

$\frac{32}{3}$

$60$
$36$
$77$

6. Aire entre deux courbes

$\frac{125}{6}$
$\frac{32}{3}$
$\frac{1}{6}$

$\frac{8}{3}$
$\frac{1}{3}$

$-1 + \sqrt{2}$

$\frac{125}{6}$
$\frac{32}{3}$
$\frac{1}{6}$