Reconnaître une dérivée composée pour trouver une primitive

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On sait que $\big(\sin(x^2)\big)' = 2x\cos(x^2)$ . Quelle est donc une primitive de $2x\cos(x^2)$ ?

$\sin(x^2)$
$2x\sin(x^2)$

L'idée clé

On cherche la forme $(v' \circ u) \times u'$ , dont une primitive est $v \circ u$ .

Formes à reconnaître, pour $u$ dérivable :

$u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ (avec $u > 0$ ) ; $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n + 1}$ ; $\dfrac{u'}{\sqrt{u}} \to 2\sqrt{u}$ ; $u'\cos u \to \sin u$ ; $u'\sin u \to -\cos u$ .

Exemple corrigé

Trouve une primitive de $f(x) = x(x^2 + 1)^4$ .

f(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x(x^2 + 1)^4

Avec u = x² + 1, on a u' = 2x. Il manque un facteur 2.

F(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{(x^2 + 1)^5}{5}

u'u⁴ a pour primitive u⁵/5.

F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^5}{10}

On simplifie.

À toi, guidé

À toi : une primitive de $3x^2\mathrm{e}^{x^3}$ .

\mathrm{e}^{x^3}

u = x³ et u' = 3x² : c'est exactement u'eᵘ.

Entraînement ★

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = (2x + 2)^{ 5 }$ telle que $F\left(-\dfrac{ 2 }{ 2 }\right) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = (3x + 1)^{ 5 }$ telle que $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 3 }\right) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = (6x + 1)^{ 2 }$ telle que $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 6 }\right) = 0$ .

Attention !

Entraînement ★★

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = \mathrm{e}^{ 4x }$ telle que $F(0) = \dfrac{1}{ 4 }$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = \mathrm{e}^{ 3x }$ telle que $F(0) = \dfrac{1}{ 3 }$ .

Sur $\mathbb{R}$ , trouve la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 8}$ qui s'annule en 0.
Sur $\mathbb{R}$ , trouve la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 9}$ qui s'annule en 0.

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = \cos(5x)$ telle que $F(0) = 0$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = (2x + 2)^{ 5 }$ telle que $F\left(-\dfrac{ 2 }{ 2 }\right) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = (3x + 1)^{ 5 }$ telle que $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 3 }\right) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = (6x + 1)^{ 2 }$ telle que $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 6 }\right) = 0$ .

Fiche résumé

Formes composées

$u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ ; $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ .
S'il manque un facteur constant, on l'ajuste.

Attention : un facteur $x$ ne s'ajuste pas ; seul un facteur constant le peut.

À propos de cette leçon