Équation différentielle y' = ay + b

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques complémentaires › Primitives et équations différentielles

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Équation différentielle y' = ay + b

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un café à 80 °C refroidit dans une pièce à 20 °C : sa température vérifie y′=−0,1y+2y' = -0{,}1y + 2. Vers quelle température tend-elle ?

  1. 20 °C
  2. 0 °C

L'idée clé

On ajoute une solution constante aux solutions de y′=ayy' = ay.

Pour a≠0a \neq 0, y′=ay+by' = ay + b a pour solution constante y0=−bay_0 = -\dfrac{b}{a}.

Toutes les solutions sont x↦Ceax−bax \mapsto C\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}, où CC est un réel.

Exemple corrigé

Résous y′=2y−6y' = 2y - 6 avec y(0)=5y(0) = 5.

y0=3y_0 = 3
Solution constante : 2y − 6 = 0.
y=Ce2x+3y = C\mathrm{e}^{2x} + 3
On ajoute Ce²ˣ.
C=2C = 2
y(0) = C + 3 = 5.
y=2e2x+3y = 2\mathrm{e}^{2x} + 3
On conclut.

À toi, guidé

À toi : quelle est la solution constante de y′=3y+12y' = 3y + 12 ?

y0=−4y_0 = -4
3y + 12 = 0.

Entraînement ★

  1. Quelle est la solution constante de l'équation différentielle y′=2y−8y' = 2y - 8 ?
  2. Quelle est la solution constante de l'équation différentielle y′=5y−30y' = 5y - 30 ?
  3. Quelle est la solution constante de l'équation différentielle y′=2y−6y' = 2y - 6 ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Résous y′=5y−15y' = 5y - 15 avec y(0)=8y(0) = 8.
  2. Résous y′=4y−20y' = 4y - 20 avec y(0)=7y(0) = 7.
  3. Résous y′=2y−10y' = 2y - 10 avec y(0)=8y(0) = 8.
  1. Problème final. On résout y′=−5y+15y' = -5y + 15 avec y(0)=7y(0) = 7.
  1. La solution de y′=−1y+4y' = -1y + 4 avec y(0)=12y(0) = 12 s'écrit y=8e−1x+4y = 8\mathrm{e}^{-1x} + 4. Quelle est sa limite en +∞+\infty ?
  1. Laquelle de ces fonctions constantes est solution de y′=6y−30y' = 6y - 30 ?
    1. y=5y = 5
    2. y=30y = 30
    3. y=0y = 0

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est la solution constante de l'équation différentielle y′=2y−8y' = 2y - 8 ?
  2. Quelle est la solution constante de l'équation différentielle y′=5y−30y' = 5y - 30 ?
  3. Quelle est la solution constante de l'équation différentielle y′=2y−6y' = 2y - 6 ?

Fiche résumé

y′=ay+by' = ay + b

  1. Solution constante : −ba-\dfrac{b}{a}.
  2. Solutions : Ceax−baC\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}.
  3. Une condition initiale donne CC.

Attention : pour trouver CC, utilise la solution complète, avec la constante.

Fin de la leçon

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Corrigé: Équation différentielle y' = ay + b

A

  1. 44
  2. 66
  3. 33

B

  1. 5e5x+35 e^{5 x} + 3
  2. 2e4x+52 e^{4 x} + 5
  3. 3e2x+53 e^{2 x} + 5

C

  1. 3+4e−5x3 + 4 e^{- 5 x}

D

  1. 44

E

  1. y=5y = 5

F

  1. 44
  2. 66
  3. 33

CC BY-SA 4.0