Imprimer le chapitre

Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Avec le corrigé

Pour obtenir un PDF, choisis « Enregistrer au format PDF » dans la fenêtre d'impression.

1. Primitives

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quelle fonction a pour dérivée $3x^2$ ?

$x^3$
$6x$

L'idée clé

$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle si $F' = f$ , c'est-à-dire si $F$ est solution de l'équation différentielle $y' = f$ . Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Primitives de référence : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n + 1}$ pour $n \neq -1$ ; $\dfrac{1}{x} \to \ln x$ sur $]0 ; +\infty[$ ; $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x}$ ; $\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x$ ; $\cos x \to \sin x$ ; $\sin x \to -\cos x$ .

Exemple corrigé

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = 4x^3 + \sin x$ telle que $F(0) = 2$ .

F(x) = x^4 - \cos x + C

Terme à terme.

C = 3

F(0) = 0 − 1 + C = 2.

F(x) = x^4 - \cos x + 3

On vérifie en dérivant.

À toi, guidé

À toi : $f(x) = 6x^2$ , avec $F(0) = 0$ .

F(x) = 2x^3

6x³/3.

Entraînement ★

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = 4x^{ 3 } + 9$ telle que $F(0) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = 2x^{ 2 } + 8$ telle que $F(0) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = 5x^{ 4 } + 6$ telle que $F(0) = 0$ .

Attention !

Entraînement ★★

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = \cos x + \mathrm{e}^x$ telle que $F(0) = 6$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = \cos x + \mathrm{e}^x$ telle que $F(0) = 4$ .

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , pour $x > 0$ , telle que $F(1) = -9$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , pour $x > 0$ , telle que $F(1) = 8$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = 4x^{ 3 } + 9$ telle que $F(0) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = 2x^{ 2 } + 8$ telle que $F(0) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = 5x^{ 4 } + 6$ telle que $F(0) = 0$ .

Fiche résumé

Primitives

$x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{1}{x} \to \ln x$ ; $\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x$ ; $\cos \to \sin$ ; $\sin \to -\cos$ .
Une valeur donnée permet de trouver $C$ .

Attention : vérifie toujours en dérivant.

2. Reconnaître une dérivée composée pour trouver une primitive

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On sait que $\big(\sin(x^2)\big)' = 2x\cos(x^2)$ . Quelle est donc une primitive de $2x\cos(x^2)$ ?

$\sin(x^2)$
$2x\sin(x^2)$

L'idée clé

On cherche la forme $(v' \circ u) \times u'$ , dont une primitive est $v \circ u$ .

Formes à reconnaître, pour $u$ dérivable :

$u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ (avec $u > 0$ ) ; $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n + 1}$ ; $\dfrac{u'}{\sqrt{u}} \to 2\sqrt{u}$ ; $u'\cos u \to \sin u$ ; $u'\sin u \to -\cos u$ .

Exemple corrigé

Trouve une primitive de $f(x) = x(x^2 + 1)^4$ .

f(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x(x^2 + 1)^4

Avec u = x² + 1, on a u' = 2x. Il manque un facteur 2.

F(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{(x^2 + 1)^5}{5}

u'u⁴ a pour primitive u⁵/5.

F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^5}{10}

On simplifie.

À toi, guidé

À toi : une primitive de $3x^2\mathrm{e}^{x^3}$ .

\mathrm{e}^{x^3}

u = x³ et u' = 3x² : c'est exactement u'eᵘ.

Entraînement ★

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = (2x + 2)^{ 5 }$ telle que $F\left(-\dfrac{ 2 }{ 2 }\right) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = (3x + 1)^{ 5 }$ telle que $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 3 }\right) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = (6x + 1)^{ 2 }$ telle que $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 6 }\right) = 0$ .

Attention !

Entraînement ★★

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = \mathrm{e}^{ 4x }$ telle que $F(0) = \dfrac{1}{ 4 }$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = \mathrm{e}^{ 3x }$ telle que $F(0) = \dfrac{1}{ 3 }$ .

Sur $\mathbb{R}$ , trouve la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 8}$ qui s'annule en 0.
Sur $\mathbb{R}$ , trouve la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 9}$ qui s'annule en 0.

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = \cos(5x)$ telle que $F(0) = 0$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Trouve la primitive $F$ de $f(x) = (2x + 2)^{ 5 }$ telle que $F\left(-\dfrac{ 2 }{ 2 }\right) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = (3x + 1)^{ 5 }$ telle que $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 3 }\right) = 0$ .
Trouve la primitive $F$ de $f(x) = (6x + 1)^{ 2 }$ telle que $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 6 }\right) = 0$ .

Fiche résumé

Formes composées

$u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ ; $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ .
S'il manque un facteur constant, on l'ajuste.

Attention : un facteur $x$ ne s'ajuste pas ; seul un facteur constant le peut.

3. Équations différentielles : solutions et équilibres

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une équation différentielle relie une fonction et ses dérivées. La fonction $y = \mathrm{e}^{2x}$ est-elle solution de $y' = 2y$ ?

L'idée clé

Une solution est une fonction, pas un nombre.

Une équation différentielle relie

y

, ses dérivées et la variable. Une fonction est solution si, une fois remplacée, les deux membres sont égaux pour tout

x

. Une solution constante

y = c

vérifie

y' = 0

Exemple corrigé

Trouve la solution constante de $y' = 3(y - 5)$ , et vérifie que $y = 5 + 2\mathrm{e}^{3t}$ est solution.

3(y - 5) = 0

, donc

y = 5

Solution constante : y' = 0.

y' = 6\mathrm{e}^{3t}

On dérive la fonction proposée.

C'est bien une solution.

Second membre : 3 × 2e³ᵗ = 6e³ᵗ. Ils sont égaux.

À toi, guidé

À toi : la solution constante de $y' = 2(4 - y)$ .

y = 4

On pose 2(4 − y) = 0.

Entraînement ★

Quelle fonction est solution de $y' = 5y$ ?
1. $y = 3\mathrm{e}^{ 5x}$
2. $y = \mathrm{e}^{3x}$
3. $y = 5xy$
4. $y = \mathrm{e}^{x} + 5$
Quelle fonction est solution de $y' = 6y$ ?
1. $y = 3\mathrm{e}^{ 6x}$
2. $y = \mathrm{e}^{3x}$
3. $y = 6xy$
4. $y = \mathrm{e}^{x} + 6$

$y' = 5(y - 3)$ . Trouve la solution constante $y = c$ .
$y' = 8(y - 2)$ . Trouve la solution constante $y = c$ .

Attention !

Entraînement ★★

Pour quelle valeur de $k > 0$ la fonction $y = \mathrm{e}^{kx}$ est-elle solution de $y'' - 9y = 0$ ?
Pour quelle valeur de $k > 0$ la fonction $y = \mathrm{e}^{kx}$ est-elle solution de $y'' - 36y = 0$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$y' = 5(y - 3)$ . Trouve la solution constante $y = c$ .
$y' = 8(y - 2)$ . Trouve la solution constante $y = c$ .
$y' = 8(y - 1)$ . Trouve la solution constante $y = c$ .

Fiche résumé

Équations différentielles

Vérifier une solution : dériver, remplacer, comparer.
Solution constante : on résout $y' = 0$ .

Attention : une solution constante vérifie $y' = 0$ , pas $y = 0$ .

4. Équation différentielle y' = ay

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une quantité croît à une vitesse proportionnelle à sa valeur : $y' = 2y$ . Quelle forme ont les solutions ?

$y = C\mathrm{e}^{2x}$
$y = \mathrm{e}^{2x}$ uniquement

L'idée clé

Les solutions forment une famille de courbes, une pour chaque constante.

Les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x \mapsto C\mathrm{e}^{ax}$ , où $C$ est un réel.

Une condition $y(x_0) = y_0$ détermine une unique solution.

Exemple corrigé

Résous $y' = -3y$ avec $y(0) = 5$ .

y = C\mathrm{e}^{-3x}

La forme générale, avec a = −3.

C = 5

y(0) = C × e⁰ = C.

y = 5\mathrm{e}^{-3x}

On conclut.

À toi, guidé

À toi : $y' = 4y$ avec $y(0) = 2$ .

y = 2\mathrm{e}^{4x}

y = Ce⁴ˣ et C = 2.

Entraînement ★

Résous l'équation différentielle $y' = 6y$ avec la condition $y(0) = 9$ .
Résous l'équation différentielle $y' = 5y$ avec la condition $y(0) = 4$ .
Résous l'équation différentielle $y' = 4y$ avec la condition $y(0) = 2$ .

Attention !

Entraînement ★★

Une quantité vérifie $y' = -5y$ et $y(0) = 7$ . Que vaut $y$ en fonction de $x$ ?
Une quantité vérifie $y' = -2y$ et $y(0) = 3$ . Que vaut $y$ en fonction de $x$ ?

Quelle est la forme de toutes les solutions de $y' = 6y$ ?
1. $y = C\mathrm{e}^{ 6x }$ , $C$ réel
2. $y = \mathrm{e}^{ 6x } + C$
3. $y = C\mathrm{e}^{-6x}$

$y' = y$ et $y(0) = 7$ . Calcule $y(1)$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Résous l'équation différentielle $y' = 6y$ avec la condition $y(0) = 9$ .
Résous l'équation différentielle $y' = 5y$ avec la condition $y(0) = 4$ .
Résous l'équation différentielle $y' = 4y$ avec la condition $y(0) = 2$ .

Fiche résumé

$y' = ay$

Solutions : $C\mathrm{e}^{ax}$ .
La condition initiale donne $C$ .

Attention : $C$ multiplie l'exponentielle, il ne s'y ajoute pas.

5. Équation différentielle y' = ay + b

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un café à 80 °C refroidit dans une pièce à 20 °C : sa température vérifie $y' = -0{,}1y + 2$ . Vers quelle température tend-elle ?

20 °C
0 °C

L'idée clé

On ajoute une solution constante aux solutions de $y' = ay$ .

Pour $a \neq 0$ , $y' = ay + b$ a pour solution constante $y_0 = -\dfrac{b}{a}$ .

Toutes les solutions sont $x \mapsto C\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$ , où $C$ est un réel.

Exemple corrigé

Résous $y' = 2y - 6$ avec $y(0) = 5$ .

y_0 = 3

Solution constante : 2y − 6 = 0.

y = C\mathrm{e}^{2x} + 3

On ajoute Ce²ˣ.

C = 2

y(0) = C + 3 = 5.

y = 2\mathrm{e}^{2x} + 3

On conclut.

À toi, guidé

À toi : quelle est la solution constante de $y' = 3y + 12$ ?

y_0 = -4

3y + 12 = 0.

Entraînement ★

Quelle est la solution constante de l'équation différentielle $y' = 2y - 8$ ?
Quelle est la solution constante de l'équation différentielle $y' = 5y - 30$ ?
Quelle est la solution constante de l'équation différentielle $y' = 2y - 6$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Résous $y' = 5y - 15$ avec $y(0) = 8$ .
Résous $y' = 4y - 20$ avec $y(0) = 7$ .
Résous $y' = 2y - 10$ avec $y(0) = 8$ .

Problème final. On résout $y' = -5y + 15$ avec $y(0) = 7$ .

La solution de $y' = -1y + 4$ avec $y(0) = 12$ s'écrit $y = 8\mathrm{e}^{-1x} + 4$ . Quelle est sa limite en $+\infty$ ?

Laquelle de ces fonctions constantes est solution de $y' = 6y - 30$ ?
1. $y = 5$
2. $y = 30$
3. $y = 0$

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quelle est la solution constante de l'équation différentielle $y' = 2y - 8$ ?
Quelle est la solution constante de l'équation différentielle $y' = 5y - 30$ ?
Quelle est la solution constante de l'équation différentielle $y' = 2y - 6$ ?

Fiche résumé

$y' = ay + b$

Solution constante : $-\dfrac{b}{a}$ .
Solutions : $C\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$ .
Une condition initiale donne $C$ .

Attention : pour trouver $C$ , utilise la solution complète, avec la constante.

Corrigé: Primitives et équations différentielles

1. Primitives

$x^{4} + 9 x$
$\frac{2 x^{3}}{3} + 8 x$
$x^{5} + 6 x$

$e^{x} + \sin{\left(x \right)} + 5$
$e^{x} + \sin{\left(x \right)} + 3$

$\ln{\left(x \right)} - 9$
$\ln{\left(x \right)} + 8$

$x^{4} + 9 x$
$\frac{2 x^{3}}{3} + 8 x$
$x^{5} + 6 x$

2. Reconnaître une dérivée composée pour trouver une primitive

$\frac{\left(2 x + 2\right)^{6}}{12}$
$\frac{\left(3 x + 1\right)^{6}}{18}$
$\frac{\left(6 x + 1\right)^{3}}{18}$

$\frac{e^{4 x}}{4}$
$\frac{e^{3 x}}{3}$

$\ln{\left(x^{2} + 8 \right)} - \ln{\left(8 \right)}$
$\ln{\left(x^{2} + 9 \right)} - \ln{\left(9 \right)}$

$\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}$

$\frac{\left(2 x + 2\right)^{6}}{12}$
$\frac{\left(3 x + 1\right)^{6}}{18}$
$\frac{\left(6 x + 1\right)^{3}}{18}$

3. Équations différentielles : solutions et équilibres

$y = 3\mathrm{e}^{ 5x}$
$y = 3\mathrm{e}^{ 6x}$

4. Équation différentielle y' = ay

$9 e^{6 x}$
$4 e^{5 x}$
$2 e^{4 x}$

$7 e^{- 5 x}$
$3 e^{- 2 x}$

$y = C\mathrm{e}^{ 6x }$ , $C$ réel

$7 e$

$9 e^{6 x}$
$4 e^{5 x}$
$2 e^{4 x}$

5. Équation différentielle y' = ay + b

$5 e^{5 x} + 3$
$2 e^{4 x} + 5$
$3 e^{2 x} + 5$

$3 + 4 e^{- 5 x}$

$y = 5$