Droite des moindres carrés

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

La droite des moindres carrés rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux. Par quel point passe-t-elle toujours ?

La somme des carrés est un trinôme en $a$ : on cherche son minimum.

La droite d'équation

y = ax + b

a pour coefficient directeur

a = \dfrac{\mathrm{cov}(x ; y)}{V(x)}

et passe par

G

:

b = \bar{y} - a\bar{x}

.

$\mathrm{cov}(x ; y) = 6$ , $V(x) = 2$ , $\bar{x} = 4$ , $\bar{y} = 20$ . Trouve la droite.

a = 3

Coefficient directeur.

b = 20 - 3 \times 4 = 8

Elle passe par G.

y = 3x + 8

Droite.

À toi : avec la même droite, quelle valeur prévoit-on pour $x = 10$ ?

38

3 × 10 + 8.

$\mathrm{cov}(x ; y) = 32$ et $V(x) = 4$ . Calcule le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.
$\mathrm{cov}(x ; y) = 24$ et $V(x) = 3$ . Calcule le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.
$\mathrm{cov}(x ; y) = 16$ et $V(x) = 8$ . Calcule le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.

La droite des moindres carrés a pour coefficient directeur 3 et passe par $G(5 ; 57)$ . Calcule son ordonnée à l'origine $b$ .
La droite des moindres carrés a pour coefficient directeur 4 et passe par $G(2 ; 58)$ . Calcule son ordonnée à l'origine $b$ .

La droite des moindres carrés a pour équation $y = 2x + 3$ . Quelle valeur prévoit-elle pour $x = 7$ ?

Par quel point la droite des moindres carrés passe-t-elle toujours ?
1. Le point moyen $G(\bar{x} ; \bar{y})$
2. L'origine du repère
3. Le premier point du nuage

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$\mathrm{cov}(x ; y) = 32$ et $V(x) = 4$ . Calcule le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.
$\mathrm{cov}(x ; y) = 24$ et $V(x) = 3$ . Calcule le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.
$\mathrm{cov}(x ; y) = 16$ et $V(x) = 8$ . Calcule le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.

Moindres carrés

Attention : la covariance est au numérateur.

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