Statistique à deux variables quantitatives

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Avec le corrigé

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1. Nuage de points, point moyen, ajustement affine

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On observe que les ventes de glaces et les noyades évoluent ensemble. Les glaces causent-elles les noyades ?

Non, la chaleur peut expliquer les deux
Oui

L'idée clé

Une série à deux variables se représente par un nuage de points.

Le point moyen est $G(\bar{x} ; \bar{y})$ . Un ajustement affine est une droite proche des points du nuage.

Une forte corrélation ne prouve pas une causalité.

Exemple corrigé

Calcule $G$ pour les points $(1 ; 2)$ , $(2 ; 4)$ , $(3 ; 9)$ .

\bar{x} = 2

Moyenne des x.

\bar{y} = 5

Moyenne des y.

G(2 ; 5)

Point moyen.

À toi, guidé

À toi : quelle est la moyenne des $x$ pour $x = 2, 4, 6$ ?

4

12 / 3.

Entraînement ★

Calcule $\bar{y}$ pour la série de valeurs $6$ , $1$ , $1$ .
Calcule $\bar{y}$ pour la série de valeurs $6$ , $9$ , $7$ .
Calcule $\bar{y}$ pour la série de valeurs $2$ , $7$ , $6$ .

Attention !

Entraînement ★★

Deux grandeurs ont une forte corrélation. Que peut-on conclure ?
1. Elles varient ensemble, sans preuve de causalité
2. L'une cause l'autre
3. Elles sont indépendantes
Deux grandeurs ont une forte corrélation. Que peut-on conclure ?
1. Elles varient ensemble, sans preuve de causalité
2. L'une cause l'autre
3. Elles sont indépendantes

Un nuage de trois points a pour abscisses $5$ , $9$ et $13$ . Quelle est l'abscisse du point moyen ?

Dans un nuage, quand $x$ augmente, $y$ a tendance à diminuer. Quel est le signe de la covariance ?
1. Négatif
2. Positif
3. Nul

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule $\bar{y}$ pour la série de valeurs $6$ , $1$ , $1$ .
Calcule $\bar{y}$ pour la série de valeurs $6$ , $9$ , $7$ .
Calcule $\bar{y}$ pour la série de valeurs $2$ , $7$ , $6$ .

Fiche résumé

Nuage de points

$G(\bar{x} ; \bar{y})$ .
Ajustement affine : droite proche du nuage.

Attention : corrélation ne veut pas dire causalité.

2. Droite des moindres carrés

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La droite des moindres carrés rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux. Par quel point passe-t-elle toujours ?

Le point moyen $G$
L'origine

L'idée clé

La somme des carrés est un trinôme en $a$ : on cherche son minimum.

La droite d'équation

y = ax + b

a pour coefficient directeur

a = \dfrac{\mathrm{cov}(x ; y)}{V(x)}

et passe par

G

b = \bar{y} - a\bar{x}

Exemple corrigé

$\mathrm{cov}(x ; y) = 6$ , $V(x) = 2$ , $\bar{x} = 4$ , $\bar{y} = 20$ . Trouve la droite.

a = 3

Coefficient directeur.

b = 20 - 3 \times 4 = 8

Elle passe par G.

y = 3x + 8

Droite.

À toi, guidé

À toi : avec la même droite, quelle valeur prévoit-on pour $x = 10$ ?

38

3 × 10 + 8.

Entraînement ★

$\mathrm{cov}(x ; y) = 32$ et $V(x) = 4$ . Calcule le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.
$\mathrm{cov}(x ; y) = 24$ et $V(x) = 3$ . Calcule le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.
$\mathrm{cov}(x ; y) = 16$ et $V(x) = 8$ . Calcule le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.

Attention !

Entraînement ★★

La droite des moindres carrés a pour coefficient directeur 3 et passe par $G(5 ; 57)$ . Calcule son ordonnée à l'origine $b$ .
La droite des moindres carrés a pour coefficient directeur 4 et passe par $G(2 ; 58)$ . Calcule son ordonnée à l'origine $b$ .

La droite des moindres carrés a pour équation $y = 2x + 3$ . Quelle valeur prévoit-elle pour $x = 7$ ?

Par quel point la droite des moindres carrés passe-t-elle toujours ?
1. Le point moyen $G(\bar{x} ; \bar{y})$
2. L'origine du repère
3. Le premier point du nuage

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$\mathrm{cov}(x ; y) = 32$ et $V(x) = 4$ . Calcule le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.
$\mathrm{cov}(x ; y) = 24$ et $V(x) = 3$ . Calcule le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.
$\mathrm{cov}(x ; y) = 16$ et $V(x) = 8$ . Calcule le coefficient directeur de la droite des moindres carrés.

Fiche résumé

Moindres carrés

$a = \dfrac{\mathrm{cov}(x ; y)}{V(x)}$ .
Passe par $G$ .

Attention : la covariance est au numérateur.

Corrigé: Statistique à deux variables quantitatives

1. Nuage de points, point moyen, ajustement affine

$\frac{8}{3}$
$\frac{22}{3}$
$5$

Elles varient ensemble, sans preuve de causalité
Elles varient ensemble, sans preuve de causalité

Négatif

$\frac{8}{3}$
$\frac{22}{3}$
$5$

2. Droite des moindres carrés

$42$
$50$

$17$

Le point moyen $G(\bar{x} ; \bar{y})$