Suites définies par uₙ₊₁ = f(uₙ) et continuité

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques complémentaires › Suites numériques, modèles discrets

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Suites définies par uₙ₊₁ = f(uₙ) et continuité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

u0=1u_0 = 1 et un+1=un+2u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}. Les premiers termes sont 11 ; 1,731{,}73 ; 1,931{,}93 ; 1,981{,}98. Vers quelle valeur semble tendre la suite ?

  1. 22
  2. +∞+\infty

L'idée clé

Pour une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), la limite éventuelle se trouve avec ff.

Si (un)(u_n) converge vers ℓ\ell et si ff est continue en ℓ\ell, alors f(un)→f(ℓ)f(u_n) \to f(\ell).

En passant à la limite dans un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), on obtient ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) : la limite est un point fixe de ff.

Exemple corrigé

u0=1u_0 = 1 et un+1=un+2u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}. On admet que (un)(u_n) converge. Trouve sa limite.

ℓ=ℓ+2\ell = \sqrt{\ell + 2}
f(x) = √(x + 2) est continue : ℓ est un point fixe.
ℓ2−ℓ−2=0\ell^2 - \ell - 2 = 0
On élève au carré.
ℓ=2\ell = 2
Les solutions sont −1 et 2. Or tous les termes sont positifs.

À toi, guidé

À toi : un+1=un2+4u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 4 converge. Trouve ℓ\ell.

ℓ2=4\dfrac{\ell}{2} = 4
On résout ℓ = ℓ/2 + 4.
ℓ=8\ell = 8
On multiplie par 2.

Entraînement ★

  1. La suite définie par un+1=un5+12u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 5 } + 12 converge. Quelle est sa limite ?
  2. La suite définie par un+1=un5+4u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 5 } + 4 converge. Quelle est sa limite ?
  3. La suite définie par un+1=un6+10u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 6 } + 10 converge. Quelle est sa limite ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. La suite à termes positifs définie par un+1=un+12u_{n+1} = \sqrt{u_n + 12} converge. Quelle est sa limite ?
  2. La suite à termes positifs définie par un+1=un+6u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6} converge. Quelle est sa limite ?
  1. La suite un+1=0,5 un+3u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3 converge vers ℓ\ell. Que vaut ℓ\ell ?
  1. Pour une suite un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), quelle condition assure que sa limite ℓ\ell vérifie f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell ?
    1. La suite converge vers ℓ\ell et ff est continue en ℓ\ell
    2. ff est croissante
    3. L'équation f(x)=xf(x) = x a une solution

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. La suite définie par un+1=un5+12u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 5 } + 12 converge. Quelle est sa limite ?
  2. La suite définie par un+1=un5+4u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 5 } + 4 converge. Quelle est sa limite ?
  3. La suite définie par un+1=un6+10u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 6 } + 10 converge. Quelle est sa limite ?

Fiche résumé

Suites un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)

  • Si elle converge et si ff est continue : ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell).
  • On résout, puis on choisit la solution compatible avec la suite.

Attention : il faut d'abord savoir que la suite converge.

Fin de la leçon

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Corrigé: Suites définies par uₙ₊₁ = f(uₙ) et continuité

A

  1. 1515
  2. 55
  3. 1212

B

  1. 44
  2. 33

C

  1. 66

D

  1. La suite converge vers ℓ\ell et ff est continue en ℓ\ell

E

  1. 1515
  2. 55
  3. 1212

CC BY-SA 4.0