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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Avec le corrigé

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1. Limite d'une suite

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On considère $u_n = 3 + \dfrac{1}{n}$ pour $n \geq 1$ : $u_1 = 4$ , $u_{10} = 3{,}1$ , $u_{100} = 3{,}01$ . Vers quoi semble tendre la suite ?

Vers 3
Vers $+\infty$

L'idée clé

La limite décrit le comportement de $u_n$ quand $n$ devient très grand.

$(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les $u_n$ à partir d'un certain rang.

$(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle $[A ; +\infty[$ contient tous les $u_n$ à partir d'un certain rang.

Limites de référence : $\dfrac{1}{n}$ , $\dfrac{1}{n^2}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ tendent vers $0$ ; $n$ , $n^2$ , $\sqrt{n}$ tendent vers $+\infty$ .

Exemple corrigé

Soit $u_n = n^2$ . À partir de quel rang a-t-on $u_n \geq 10\,000$ ?

n^2 \geq 10\,000 \iff n \geq 100

On résout l'inéquation pour n positif.

Dès le rang

100

u_n \in [10\,000 ; +\infty[

Tous les termes suivants restent au-dessus : c'est ce que dit la limite +∞.

À toi, guidé

À toi : $u_n = 5 - \dfrac{2}{n}$ . Quelle est la limite de $u_n$ ?

\dfrac{2}{n} \to 0

2/n tend vers 0.

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 5

Il reste 5.

Entraînement ★

Quelle est la limite de la suite $u_n = -4 + \dfrac{ 6 }{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Quelle est la limite de la suite $u_n = 3 + \dfrac{ 4 }{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Quelle est la limite de la suite $u_n = -5 + \dfrac{ 5 }{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Soit $u_n = n^2$ . Quel est le plus petit entier $n$ tel que $u_n \geq 6400$ ?
Soit $u_n = n^2$ . Quel est le plus petit entier $n$ tel que $u_n \geq 1600$ ?

La suite $u_n = 5 - \dfrac{1}{n}$ est croissante. Que peut-on dire de sa limite ?
1. Elle converge vers 5
2. Elle tend vers $+\infty$ , car elle est croissante
3. Elle converge vers 0
La suite $u_n = 6 - \dfrac{1}{n}$ est croissante. Que peut-on dire de sa limite ?
1. Elle converge vers 6
2. Elle tend vers $+\infty$ , car elle est croissante
3. Elle converge vers 0

Quelle est la limite de la suite $u_n = 4n - 1$ ?
1. $+\infty$
2. $4$
3. Elle n'a pas de limite

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quelle est la limite de la suite $u_n = -4 + \dfrac{ 6 }{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Quelle est la limite de la suite $u_n = 3 + \dfrac{ 4 }{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Quelle est la limite de la suite $u_n = -5 + \dfrac{ 5 }{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

Fiche résumé

Limite d'une suite

Convergente : les termes se rapprochent d'un réel $\ell$ .
Limite $+\infty$ : les termes dépassent tout nombre $A$ , et restent au-dessus.

Attention : croissante ne veut pas dire « tend vers $+\infty$ ».

2. Limite d'une suite géométrique

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Calcule mentalement $0{,}5^2$ , $0{,}5^3$ , $0{,}5^{10}$ . Vers quoi tend $0{,}5^n$ ?

Vers 0
Vers $+\infty$

L'idée clé

Le comportement de $q^n$ dépend uniquement de la position de $q$ .

Si $q > 1$ : $q^n \to +\infty$ .
Si $q = 1$ : $q^n = 1$ .
Si $-1 < q < 1$ : $q^n \to 0$ .
Si $q \leq -1$ : $(q^n)$ n'a pas de limite.

Exemple corrigé

Trouve la limite de $u_n = 5 \times 0{,}8^n + 2$ .

0{,}8^n \to 0

−1 < 0,8 < 1.

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 2

On multiplie par 5, puis on ajoute 2.

À toi, guidé

À toi : limite de $u_n = 7 - 3 \times 0{,}5^n$ .

3 \times 0{,}5^n \to 0

0,5ⁿ tend vers 0.

La limite est

7

Il reste 7.

Entraînement ★

Quelle est la limite de la suite $u_n = 8 \times 0{,}5^n + 7$ ?
Quelle est la limite de la suite $u_n = 5 \times 0{,}9^n + 4$ ?
Quelle est la limite de la suite $u_n = 3 \times 0{,}9^n + 1$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Quelle est la limite de $9^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
1. $+\infty$
2. $0$
3. Elle n'a pas de limite
Quelle est la limite de $2^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
1. $+\infty$
2. $0$
3. Elle n'a pas de limite
Quelle est la limite de $5^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
1. $+\infty$
2. $0$
3. Elle n'a pas de limite

Quelle est la limite de $\dfrac{1}{ 9^n }$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
1. $0$
2. $\dfrac{1}{ 9 }$
3. $+\infty$

On pose $u_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ . Quel est le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leq \dfrac{1}{ 4 }$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quelle est la limite de la suite $u_n = 8 \times 0{,}5^n + 7$ ?
Quelle est la limite de la suite $u_n = 5 \times 0{,}9^n + 4$ ?
Quelle est la limite de la suite $u_n = 3 \times 0{,}9^n + 1$ ?

Fiche résumé

Limite de $q^n$

$q > 1$ : $+\infty$ .
$-1 < q < 1$ : $0$ .
$q \leq -1$ : pas de limite.

Attention : pour un $q$ négatif, regarde le signe alterné.

3. Somme des termes d'une suite géométrique et limite

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On additionne $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots$ . Vers quoi tend cette somme ?

$2$
Elle devient infinie

L'idée clé

On utilise une formule, puis la limite de $q^{n}$ .

Pour $q \neq 1$ : $1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ .

Si $0 \leq q < 1$ , alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}(1 + q + \dots + q^n) = \dfrac{1}{1 - q}$ .

Exemple corrigé

Calcule la limite de $S_n = 3 + 3 \times 0{,}5 + \dots + 3 \times 0{,}5^n$ .

S_n = 3(1 + 0{,}5 + \dots + 0{,}5^n)

On factorise 3.

S_n = 3 \times \dfrac{1 - 0{,}5^{n + 1}}{0{,}5}

Formule.

6

Limite : 0,5ⁿ⁺¹ tend vers 0.

À toi, guidé

À toi : quelle est la limite de $1 + 0{,}5 + \dots + 0{,}5^n$ ?

2

1 / (1 − 0,5).

Entraînement ★

Quelle est la limite de $1 + \dfrac{1}{ 3 } + \left(\dfrac{1}{ 3 }\right)^2 + \dots + \left(\dfrac{1}{ 3 }\right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $1 + \dfrac{1}{ 5 } + \left(\dfrac{1}{ 5 }\right)^2 + \dots + \left(\dfrac{1}{ 5 }\right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $1 + \dfrac{1}{ 9 } + \left(\dfrac{1}{ 9 }\right)^2 + \dots + \left(\dfrac{1}{ 9 }\right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Calcule $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{ 2 }$ .
Calcule $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{ 4 }$ .

Pour $q \neq 1$ , que vaut $1 + q + q^2 + \dots + q^n$ ?
1. $\dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$
2. $\dfrac{1 - q^n}{1 - q}$
3. $n \times q$

Calcule $1 + 3 + 9 + \dots + 3^{ 2 }$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quelle est la limite de $1 + \dfrac{1}{ 3 } + \left(\dfrac{1}{ 3 }\right)^2 + \dots + \left(\dfrac{1}{ 3 }\right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $1 + \dfrac{1}{ 5 } + \left(\dfrac{1}{ 5 }\right)^2 + \dots + \left(\dfrac{1}{ 5 }\right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
Quelle est la limite de $1 + \dfrac{1}{ 9 } + \left(\dfrac{1}{ 9 }\right)^2 + \dots + \left(\dfrac{1}{ 9 }\right)^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

Fiche résumé

Somme géométrique

$\dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ .
Si $0 \leq q < 1$ : la limite est $\dfrac{1}{1 - q}$ .

Attention : vérifie que $q < 1$ avant de passer à la limite.

4. Suites arithmético-géométriques

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Soit $u_{n + 1} = 0{,}5u_n + 3$ . Quel nombre constant $\ell$ vérifie $\ell = 0{,}5\ell + 3$ ?

L'idée clé

On se ramène à une suite géométrique.

Pour $u_{n + 1} = au_n + b$ avec $a \neq 1$ : on cherche $\ell$ tel que $\ell = a\ell + b$ . La suite $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $a$ .

Donc $u_n = \ell + a^n(u_0 - \ell)$ .

Exemple corrigé

$u_{n + 1} = 0{,}5u_n + 3$ et $u_0 = 10$ . Exprime $u_n$ .

\ell = 6

Solution constante.

v_n = 4 \times 0{,}5^n

v₀ = 10 − 6.

u_n = 6 + 4 \times 0{,}5^n

On revient à u.

À toi, guidé

À toi : avec $u_{n + 1} = 0{,}5u_n + 3$ , quelle est la limite de $u_n$ ?

6

0,5ⁿ tend vers 0.

Entraînement ★

Quelle est la solution constante de $u_{n + 1} = \dfrac{1}{ 5 }u_n + 4$ ?
Quelle est la solution constante de $u_{n + 1} = \dfrac{1}{ 3 }u_n + 2$ ?
Quelle est la solution constante de $u_{n + 1} = \dfrac{1}{ 5 }u_n + 12$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Pour $u_{n + 1} = 4u_n - 3$ et $u_0 = 10$ , que vaut $v_0 = u_0 - \ell$ ?
Pour $u_{n + 1} = 4u_n - 6$ et $u_0 = 6$ , que vaut $v_0 = u_0 - \ell$ ?

Problème final. $u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}u_n + 5$ , avec $u_0 = 14$ .

$u_n = 5 \times 0{,}5^n + 6$ . Quelle est la limite de $u_n$ ?

Pour $u_{n + 1} = au_n + b$ , de point fixe $\ell$ , de quel type est la suite $v_n = u_n - \ell$ ?
1. Géométrique de raison $a$
2. Arithmétique de raison $b$
3. Constante

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quelle est la solution constante de $u_{n + 1} = \dfrac{1}{ 5 }u_n + 4$ ?
Quelle est la solution constante de $u_{n + 1} = \dfrac{1}{ 3 }u_n + 2$ ?
Quelle est la solution constante de $u_{n + 1} = \dfrac{1}{ 5 }u_n + 12$ ?

Fiche résumé

Arithmético-géométrique

Solution constante $\ell$ .
$v_n = u_n - \ell$ est géométrique.

Attention : $u_n$ n'est pas géométrique elle-même.

5. Suites définies par uₙ₊₁ = f(uₙ) et continuité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . Les premiers termes sont $1$ ; $1{,}73$ ; $1{,}93$ ; $1{,}98$ . Vers quelle valeur semble tendre la suite ?

$2$
$+\infty$

L'idée clé

Pour une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ , la limite éventuelle se trouve avec $f$ .

Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ , alors $f(u_n) \to f(\ell)$ .

En passant à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ , on obtient $\ell = f(\ell)$ : la limite est un point fixe de $f$ .

Exemple corrigé

$u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . On admet que $(u_n)$ converge. Trouve sa limite.

\ell = \sqrt{\ell + 2}

f(x) = √(x + 2) est continue : ℓ est un point fixe.

\ell^2 - \ell - 2 = 0

On élève au carré.

\ell = 2

Les solutions sont −1 et 2. Or tous les termes sont positifs.

À toi, guidé

À toi : $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 4$ converge. Trouve $\ell$ .

\dfrac{\ell}{2} = 4

On résout ℓ = ℓ/2 + 4.

\ell = 8

On multiplie par 2.

Entraînement ★

La suite définie par $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 5 } + 12$ converge. Quelle est sa limite ?
La suite définie par $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 5 } + 4$ converge. Quelle est sa limite ?
La suite définie par $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 6 } + 10$ converge. Quelle est sa limite ?

Attention !

Entraînement ★★

La suite à termes positifs définie par $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 12}$ converge. Quelle est sa limite ?
La suite à termes positifs définie par $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ converge. Quelle est sa limite ?

La suite $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3$ converge vers $\ell$ . Que vaut $\ell$ ?

Pour une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ , quelle condition assure que sa limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ ?
1. La suite converge vers $\ell$ et $f$ est continue en $\ell$
2. $f$ est croissante
3. L'équation $f(x) = x$ a une solution

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

La suite définie par $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 5 } + 12$ converge. Quelle est sa limite ?
La suite définie par $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 5 } + 4$ converge. Quelle est sa limite ?
La suite définie par $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{ 6 } + 10$ converge. Quelle est sa limite ?

Fiche résumé

Suites $u_{n+1} = f(u_n)$

Si elle converge et si $f$ est continue : $\ell = f(\ell)$ .
On résout, puis on choisit la solution compatible avec la suite.

Attention : il faut d'abord savoir que la suite converge.

Corrigé: Suites numériques, modèles discrets

1. Limite d'une suite

$-4$
$3$
$-5$

$80$
$40$

Elle converge vers 5
Elle converge vers 6

$+\infty$

$-4$
$3$
$-5$

2. Limite d'une suite géométrique

$+\infty$
$+\infty$
$+\infty$

3. Somme des termes d'une suite géométrique et limite

$\frac{3}{2}$
$\frac{5}{4}$
$\frac{9}{8}$

$7$
$31$

$\dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$

$13$

$\frac{3}{2}$
$\frac{5}{4}$
$\frac{9}{8}$

4. Suites arithmético-géométriques

$5$
$3$
$15$

$10$

Géométrique de raison $a$

$5$
$3$
$15$

5. Suites définies par uₙ₊₁ = f(uₙ) et continuité

$15$
$5$
$12$

La suite converge vers $\ell$ et $f$ est continue en $\ell$

$15$
$5$
$12$