Divisibilité et division euclidienne

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques expertes › Divisibilité et congruences

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Divisibilité et division euclidienne

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Lequel de ces nombres divise 12 ?

  1. 33
  2. 2424

L'idée clé

Dans Z\mathbb{Z}, on parle de multiples et de diviseurs.

aa divise bb s'il existe un entier kk tel que b=kab = ka. Si aa divise bb et cc, alors aa divise ub+vcub + vc.

Division euclidienne de aa par b≥1b \geq 1 : il existe un unique couple (q;r)(q ; r) tel que a=bq+ra = bq + r et 0≤r<b0 \leq r < b.

Exemple corrigé

Effectue la division euclidienne de −17-17 par 5.

−17=5×(−4)+3-17 = 5 \times (-4) + 3
On cherche un reste positif.
q=−4q = -4, r=3r = 3
0 ≤ 3 < 5 : c'est bon.

À toi, guidé

À toi : quel est le reste de la division de 23 par 4 ?

33
23 = 4 × 5 + 3.

Entraînement ★

  1. Quel est le reste de la division euclidienne de 2222 par 4 ?
  2. Quel est le reste de la division euclidienne de 2626 par 4 ?
  3. Quel est le reste de la division euclidienne de 5555 par 9 ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quel est le reste de la division euclidienne de −10-10 par 4 ?
  2. Quel est le reste de la division euclidienne de −15-15 par 4 ?
  1. On sait que 9 divise xx et yy. Quel nombre 9 divise-t-il toujours ?
    1. 7x+4y7x + 4y
    2. x+1x + 1
    3. xy\dfrac{x}{y}
  1. Quel est le quotient de la division euclidienne de 3838 par 6 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quel est le reste de la division euclidienne de 2222 par 4 ?
  2. Quel est le reste de la division euclidienne de 2626 par 4 ?
  3. Quel est le reste de la division euclidienne de 5555 par 9 ?

Fiche résumé

Division euclidienne

  • a=bq+ra = bq + r, avec 0≤r<b0 \leq r < b.
  • a∣ba \mid b signifie b=kab = ka.

Attention : le reste n'est jamais négatif.

Fin de la leçon

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Corrigé: Divisibilité et division euclidienne

A

  1. 22
  2. 22
  3. 11

B

  1. 22
  2. 11

C

  1. 7x+4y7x + 4y

D

  1. 66

E

  1. 22
  2. 22
  3. 11

CC BY-SA 4.0