Petit théorème de Fermat

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques expertes › Divisibilité et congruences

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Petit théorème de Fermat

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Calcule 262^6 modulo 7.

  1. 11
  2. 00

L'idée clé

Ce théorème simplifie les grandes puissances.

Petit théorème de Fermat : si pp est premier et si pp ne divise pas aa, alors ap−1≡1 [p]a^{p - 1} \equiv 1\ [p].

Pour tout entier aa : ap≡a [p]a^p \equiv a\ [p].

Exemple corrigé

Trouve le reste de la division de 31003^{100} par 11.

310≡1 [11]3^{10} \equiv 1\ [11]
Fermat : 3¹⁰ ≡ 1.
3100≡1 [11]3^{100} \equiv 1\ [11]
100 = 10 × 10.

À toi, guidé

À toi : quel est le reste de la division de 464^{6} par 7 ?

11
7 est premier et ne divise pas 4.

Entraînement ★

  1. Quel est le reste de la division de 4124^{ 12 } par 7 ?
  2. Quel est le reste de la division de 6186^{ 18 } par 7 ?
  3. Quel est le reste de la division de 5185^{ 18 } par 7 ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quel est le reste de la division de 8118^{11} par 11 ?
  2. Quel est le reste de la division de 7117^{11} par 11 ?
  1. Problème final. On étudie 3253^{ 25 } modulo 7.
  1. D'après le petit théorème de Fermat, quel est le reste de 4124^{12} modulo 13 ?
    1. 1
    2. 44
    3. 0
  1. Quel est le reste de la division de 272^{ 7 } par 7 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quel est le reste de la division de 4124^{ 12 } par 7 ?
  2. Quel est le reste de la division de 6186^{ 18 } par 7 ?
  3. Quel est le reste de la division de 5185^{ 18 } par 7 ?

Fiche résumé

Fermat

  • ap−1≡1 [p]a^{p - 1} \equiv 1\ [p], pour pp premier ne divisant pas aa.
  • ap≡a [p]a^p \equiv a\ [p].

Attention : vérifie que pp est premier.

Fin de la leçon

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Corrigé: Petit théorème de Fermat

A

  1. 11
  2. 11
  3. 11

B

  1. 88
  2. 77

C

  1. 33

D

  1. 1

E

  1. 22

F

  1. 11
  2. 11
  3. 11

CC BY-SA 4.0