Théorème de Gauss

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques expertes › PGCD, Bézout et Gauss

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Théorème de Gauss

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

3 divise 5x5x. Peut-on affirmer que 3 divise xx ?

  1. Oui, car 3 et 5 sont premiers entre eux
  2. Non, jamais

L'idée clé

Ce théorème sert à résoudre des équations en entiers.

Gauss : si aa divise bcbc et si aa et bb sont premiers entre eux, alors aa divise cc.

Exemple corrigé

On sait que 7x=4y7x = 4y, avec xx et yy entiers. Que dire de yy ?

7∣4y7 \mid 4y
7 divise 4y.
7∣y7 \mid y
7 et 4 sont premiers entre eux.

À toi, guidé

À toi : 5 divise 3n3n. Lequel divise nn ?

55
5 et 3 sont premiers entre eux.

Entraînement ★

  1. On sait que 5 divise 11n11n, avec nn entier. Quel est le plus petit entier n>0n > 0 possible ?
  2. On sait que 7 divise 8n8n, avec nn entier. Quel est le plus petit entier n>0n > 0 possible ?
  3. On sait que 3 divise 8n8n, avec nn entier. Quel est le plus petit entier n>0n > 0 possible ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle hypothèse faut-il pour appliquer le théorème de Gauss à « aa divise bcbc » ?
    1. aa et bb sont premiers entre eux
    2. aa est pair
    3. bb et cc sont égaux
  2. Quelle hypothèse faut-il pour appliquer le théorème de Gauss à « aa divise bcbc » ?
    1. aa et bb sont premiers entre eux
    2. aa est pair
    3. bb et cc sont égaux
  1. 7 divise 9n9n, et 7 et 9 sont premiers entre eux. Quel est le plus petit entier n>0n > 0 possible ?
  1. 6 divise 4×34 \times 3. Peut-on en conclure que 6 divise 4 ou 3 ?
    1. Non : 6 n'est premier ni avec 4 ni avec 3
    2. Oui : par le théorème de Gauss
    3. Oui : 6 divise toujours un facteur

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. On sait que 5 divise 11n11n, avec nn entier. Quel est le plus petit entier n>0n > 0 possible ?
  2. On sait que 7 divise 8n8n, avec nn entier. Quel est le plus petit entier n>0n > 0 possible ?
  3. On sait que 3 divise 8n8n, avec nn entier. Quel est le plus petit entier n>0n > 0 possible ?

Fiche résumé

Gauss

  • Si a∣bca \mid bc et PGCD(a;b)=1\mathrm{PGCD}(a ; b) = 1, alors a∣ca \mid c.
  • Base des équations diophantiennes.

Attention : vérifie toujours « premiers entre eux ».

Fin de la leçon

Leçon suivante: Congruence ax ≡ b, inverse modulo n et chiffrement Retour au chapitre

Corrigé: Théorème de Gauss

A

  1. 55
  2. 77
  3. 33

B

  1. aa et bb sont premiers entre eux
  2. aa et bb sont premiers entre eux

C

  1. 77

D

  1. Non : 6 n'est premier ni avec 4 ni avec 3

E

  1. 55
  2. 77
  3. 33

CC BY-SA 4.0