Équations diophantiennes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

L'équation $3x + 6y = 1$ a-t-elle des solutions entières ?

Non
Oui

L'idée clé

$ax + by = c$ a des solutions si et seulement si $\mathrm{PGCD}(a ; b)$ divise $c$ .

On trouve une solution particulière

(x_0 ; y_0)

, puis on utilise Gauss. Si

a

et

b

sont premiers entre eux, les solutions sont

x = x_0 + bk

,

y = y_0 - ak

,

k \in \mathbb{Z}

.

Exemple corrigé

Résous $3x + 5y = 1$ .

(x_0 ; y_0) = (2 ; -1)

Solution particulière.

3(x - 2) = 5(-1 - y)

On soustrait.

x = 2 + 5k

et

y = -1 - 3k

Gauss.

À toi, guidé

À toi : pour $2x + 3y = 1$ , on a la solution $(2 ; -1)$ . Combien vaut $x$ pour $k = 1$ dans $x = 2 + 3k$ ?

5

2 + 3.

Entraînement ★

Les solutions de $3x + 5y = 1$ sont $x = 2 + 5k$ , $y = -1 - 3k$ . Que vaut $x$ pour $k = 2$ ?
Les solutions de $3x + 5y = 1$ sont $x = 2 + 5k$ , $y = -1 - 3k$ . Que vaut $x$ pour $k = 4$ ?
Les solutions de $3x + 5y = 1$ sont $x = 2 + 5k$ , $y = -1 - 3k$ . Que vaut $x$ pour $k = 3$ ?

Attention !

Entraînement ★★

L'équation $8x + 16y = 9$ a-t-elle des solutions entières ?
1. Non
2. Oui, une seule
3. Oui, une infinité
L'équation $4x + 8y = 5$ a-t-elle des solutions entières ?
1. Non
2. Oui, une seule
3. Oui, une infinité

Problème final. On résout $3x + 5y = 18$ en entiers.

Les solutions de $3x + 5y = 1$ sont $x = 2 + 5k$ , $y = -1 - 3k$ . Que vaut $y$ pour $k = 3$ ?

Une équation $ax + by = c$ a une solution entière. Combien en a-t-elle en tout ?
1. Une infinité
2. Une seule
3. Deux

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Les solutions de $3x + 5y = 1$ sont $x = 2 + 5k$ , $y = -1 - 3k$ . Que vaut $x$ pour $k = 2$ ?
Les solutions de $3x + 5y = 1$ sont $x = 2 + 5k$ , $y = -1 - 3k$ . Que vaut $x$ pour $k = 4$ ?
Les solutions de $3x + 5y = 1$ sont $x = 2 + 5k$ , $y = -1 - 3k$ . Que vaut $x$ pour $k = 3$ ?

Fiche résumé

Équations diophantiennes

Existence : $\mathrm{PGCD}(a ; b) \mid c$ .
Solution particulière, puis Gauss.

Attention : il y a une infinité de solutions.

À propos de cette leçon