Fiche d'exercices

De nouvelles questions sur tout le chapitre, à faire sur papier.

Nouvelles questions Avec le corrigé

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Calcule $\mathrm{PGCD}(14 ; 16)$ .
Les nombres $5$ et $6$ sont-ils premiers entre eux ?
1. Oui, toujours
2. Seulement s'ils sont premiers
3. Non
Les nombres $2$ et $3$ sont-ils premiers entre eux ?
1. Oui, toujours
2. Seulement s'ils sont premiers
3. Non
Les nombres $8$ et $9$ sont-ils premiers entre eux ?
1. Oui, toujours
2. Seulement s'ils sont premiers
3. Non
Les nombres $6$ et $7$ sont-ils premiers entre eux ?
1. Oui, toujours
2. Seulement s'ils sont premiers
3. Non
Les nombres $7$ et $8$ sont-ils premiers entre eux ?
1. Oui, toujours
2. Seulement s'ils sont premiers
3. Non
Les nombres $3$ et $4$ sont-ils premiers entre eux ?
1. Oui, toujours
2. Seulement s'ils sont premiers
3. Non
Les nombres $4$ et $5$ sont-ils premiers entre eux ?
1. Oui, toujours
2. Seulement s'ils sont premiers
3. Non
Les nombres $9$ et $10$ sont-ils premiers entre eux ?
1. Oui, toujours
2. Seulement s'ils sont premiers
3. Non
Calcule $\mathrm{PGCD}(6 ; 2)$ .
Dans l'algorithme d'Euclide pour $36$ et 15, on remplace le couple par (15 ; $r$ ). Que vaut $r$ ?
On a $9 \times 1 + 4 \times v = 1$ . Que vaut $v$ ?
Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $12u + 24v = 1$ ?
1. Non, car le PGCD n'est pas 1
2. Oui, toujours
3. Oui, avec $u = v = 1$
Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $10u + 20v = 1$ ?
1. Non, car le PGCD n'est pas 1
2. Oui, toujours
3. Oui, avec $u = v = 1$
Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $6u + 12v = 1$ ?
1. Non, car le PGCD n'est pas 1
2. Oui, toujours
3. Oui, avec $u = v = 1$
Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $14u + 28v = 1$ ?
1. Non, car le PGCD n'est pas 1
2. Oui, toujours
3. Oui, avec $u = v = 1$
Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $16u + 32v = 1$ ?
1. Non, car le PGCD n'est pas 1
2. Oui, toujours
3. Oui, avec $u = v = 1$
Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $18u + 36v = 1$ ?
1. Non, car le PGCD n'est pas 1
2. Oui, toujours
3. Oui, avec $u = v = 1$
Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $8u + 16v = 1$ ?
1. Non, car le PGCD n'est pas 1
2. Oui, toujours
3. Oui, avec $u = v = 1$
Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $4u + 8v = 1$ ?
1. Non, car le PGCD n'est pas 1
2. Oui, toujours
3. Oui, avec $u = v = 1$
Avec $u = 1$ et $v = -2$ , que vaut $(5)u + 2v$ ?
Selon le théorème de Bézout, que signifie l'existence d'entiers $u$ , $v$ tels que $au + bv = 1$ ?
1. $a$ et $b$ sont premiers entre eux
2. $a$ divise $b$
3. $a$ et $b$ sont des nombres premiers
On sait que 5 divise $11n$ , avec $n$ entier. Quel est le plus petit entier $n > 0$ possible ?
Quelle hypothèse faut-il pour appliquer le théorème de Gauss à « $a$ divise $bc$ » ?
1. $a$ et $b$ sont premiers entre eux
2. $a$ est pair
3. $b$ et $c$ sont égaux
Quelle hypothèse faut-il pour appliquer le théorème de Gauss à « $a$ divise $bc$ » ?
1. $a$ et $b$ sont premiers entre eux
2. $a$ est pair
3. $b$ et $c$ sont égaux
Quelle hypothèse faut-il pour appliquer le théorème de Gauss à « $a$ divise $bc$ » ?
1. $a$ et $b$ sont premiers entre eux
2. $a$ est pair
3. $b$ et $c$ sont égaux
7 divise $9n$ , et 7 et 9 sont premiers entre eux. Quel est le plus petit entier $n > 0$ possible ?
6 divise $4 \times 3$ . Peut-on en conclure que 6 divise 4 ou 3 ?
1. Non : 6 n'est premier ni avec 4 ni avec 3
2. Oui : par le théorème de Gauss
3. Oui : 6 divise toujours un facteur
Résous $3x \equiv 12\ [7]$ : donne la solution $x$ entre 0 et 6. (L'inverse de 3 modulo 7 est 5.)
Avec le chiffrement $y \equiv 3x + 1\ [26]$ , quel nombre $y$ code $x = 3$ ?
Résous $2x \equiv 10\ [11]$ : donne $x$ entre 0 et 10.
Quel est l'inverse de 2 modulo 5 ?
Les solutions de $3x + 5y = 1$ sont $x = 2 + 5k$ , $y = -1 - 3k$ . Que vaut $x$ pour $k = 2$ ?
L'équation $8x + 16y = 9$ a-t-elle des solutions entières ?
1. Non
2. Oui, une seule
3. Oui, une infinité
L'équation $4x + 8y = 5$ a-t-elle des solutions entières ?
1. Non
2. Oui, une seule
3. Oui, une infinité
L'équation $18x + 36y = 19$ a-t-elle des solutions entières ?
1. Non
2. Oui, une seule
3. Oui, une infinité
L'équation $16x + 32y = 17$ a-t-elle des solutions entières ?
1. Non
2. Oui, une seule
3. Oui, une infinité
L'équation $10x + 20y = 11$ a-t-elle des solutions entières ?
1. Non
2. Oui, une seule
3. Oui, une infinité
L'équation $14x + 28y = 15$ a-t-elle des solutions entières ?
1. Non
2. Oui, une seule
3. Oui, une infinité
L'équation $6x + 12y = 7$ a-t-elle des solutions entières ?
1. Non
2. Oui, une seule
3. Oui, une infinité
L'équation $12x + 24y = 13$ a-t-elle des solutions entières ?
1. Non
2. Oui, une seule
3. Oui, une infinité
Les solutions de $3x + 5y = 1$ sont $x = 2 + 5k$ , $y = -1 - 3k$ . Que vaut $y$ pour $k = 3$ ?
Une équation $ax + by = c$ a une solution entière. Combien en a-t-elle en tout ?
1. Une infinité
2. Une seule
3. Deux

Corrigé

$2$
Oui, toujours
$2$
$6$
$-2$
Non, car le PGCD n'est pas 1
$1$
$a$ et $b$ sont premiers entre eux
$5$
$a$ et $b$ sont premiers entre eux
$7$
Non : 6 n'est premier ni avec 4 ni avec 3
$4$
$10$
$5$
$3$
$12$
Non
$-10$
Une infinité