Formule du binôme dans ℂ

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques expertes › Nombres complexes : point de vue algébrique

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Formule du binôme dans ℂ

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Pour développer (1+i)3(1 + i)^3, on utilise le triangle de Pascal. Que vaut i3i^3 ?

  1. −i-i
  2. ii

L'idée clé

La formule du binôme reste vraie dans C\mathbb{C}.

(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a + b)^n = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}a^{n - k}b^k, pour tous complexes aa et bb.

Exemple corrigé

Développe (1+i)3(1 + i)^3.

1+3i+3i2+i31 + 3i + 3i^2 + i^3
Coefficients 1, 3, 3, 1.
1+3i−3−i1 + 3i - 3 - i
Puissances de i.
−2+2i-2 + 2i
On regroupe.

À toi, guidé

À toi : développe (2+i)2(2 + i)^2.

3+4i3 + 4i
4 + 4i + i².

Entraînement ★

  1. Développe (4+3i)2(4 + 3i)^2 sous forme algébrique.
  2. Développe (7+5i)2(7 + 5i)^2 sous forme algébrique.
  3. Développe (3+6i)2(3 + 6i)^2 sous forme algébrique.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Développe (4+i)3(4 + i)^3 sous forme algébrique.
  2. Développe (5+i)3(5 + i)^3 sous forme algébrique.
  1. Problème final. On pose z=2+2iz = 2 + 2i.
  1. Développe (3+1i)(3−1i)(3 + 1i)(3 - 1i).
  1. Dans le développement de (1+z)2(1 + z)^{ 2 }, quel est le coefficient de z2z^2 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Développe (4+3i)2(4 + 3i)^2 sous forme algébrique.
  2. Développe (7+5i)2(7 + 5i)^2 sous forme algébrique.
  3. Développe (3+6i)2(3 + 6i)^2 sous forme algébrique.

Fiche résumé

Binôme dans C\mathbb{C}

  • Mêmes coefficients que dans R\mathbb{R}.
  • Puissances de ii : i,−1,−i,1i, -1, -i, 1.

Attention : n'oublie pas les termes du milieu.

Fin de la leçon

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Corrigé: Formule du binôme dans ℂ

A

  1. 7+24i7 + 24 i
  2. 24+70i24 + 70 i
  3. −27+36i-27 + 36 i

B

  1. 52+47i52 + 47 i
  2. 110+74i110 + 74 i

C

  1. 14−i4\frac{1}{4} - \frac{i}{4}

D

  1. 1010

E

  1. 11

F

  1. 7+24i7 + 24 i
  2. 24+70i24 + 70 i
  3. −27+36i-27 + 36 i

CC BY-SA 4.0