Nombres complexes : point de vue algébrique

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1. L'ensemble des nombres complexes : forme algébrique et opérations

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Dans C\mathbb{C}, on a i2=−1i^2 = -1. Que vaut (1+i)(1−i)(1 + i)(1 - i) ?

  1. 22
  2. 00

L'idée clé

Tout nombre complexe s'écrit de façon unique z=a+ibz = a + ib, avec aa et bb réels.

aa est la partie réelle Re(z)\mathrm{Re}(z) et bb la partie imaginaire Im(z)\mathrm{Im}(z). On calcule comme avec des réels, en remplaçant i2i^2 par −1-1.

Exemple corrigé

Calcule (2+3i)(1−2i)(2 + 3i)(1 - 2i).

2−4i+3i−6i22 - 4i + 3i - 6i^2
On développe.
2−i+62 - i + 6
i² = −1.
8−i8 - i
On regroupe.

À toi, guidé

À toi : calcule (1+i)2(1 + i)^2.

2i2i
1 + 2i + i².

Entraînement ★

  1. Calcule (6+1i)(6+4i)(6 + 1i)(6 + 4i) sous forme algébrique.
  2. Calcule (6+5i)(1+2i)(6 + 5i)(1 + 2i) sous forme algébrique.
  3. Calcule (1+4i)(5+5i)(1 + 4i)(5 + 5i) sous forme algébrique.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la partie imaginaire de z=8−7iz = 8 - 7i ?
    1. −7-7
    2. −7i-7i
    3. 88
  2. Quelle est la partie imaginaire de z=3−3iz = 3 - 3i ?
    1. −3-3
    2. −3i-3i
    3. 33
  1. Calcule i23i^{ 23 }.
  1. Calcule (9+4i)+(8−4i)(9 + 4i) + (8 - 4i) sous forme algébrique.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule (6+1i)(6+4i)(6 + 1i)(6 + 4i) sous forme algébrique.
  2. Calcule (6+5i)(1+2i)(6 + 5i)(1 + 2i) sous forme algébrique.
  3. Calcule (1+4i)(5+5i)(1 + 4i)(5 + 5i) sous forme algébrique.

Fiche résumé

Forme algébrique

  • z=a+ibz = a + ib, avec aa et bb réels.
  • i2=−1i^2 = -1.

Attention : la partie imaginaire de a+iba + ib est bb, pas ibib.

2. Conjugué et inverse d'un nombre complexe

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quel est le conjugué de z=3+2iz = 3 + 2i ?

  1. 3−2i3 - 2i
  2. −3−2i-3 - 2i

L'idée clé

Le conjugué sert à rendre un dénominateur réel.

Si z=a+ibz = a + ib, alors zˉ=a−ib\bar{z} = a - ib et zzˉ=a2+b2z\bar{z} = a^2 + b^2.

z+z′‾=zˉ+z′ˉ\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'} ; zz′‾=zˉ z′ˉ\overline{zz'} = \bar{z}\,\bar{z'} ; zn‾=zˉn\overline{z^n} = \bar{z}^n. Pour z≠0z \neq 0 : 1z=zˉzzˉ\dfrac{1}{z} = \dfrac{\bar{z}}{z\bar{z}}.

Exemple corrigé

Écris 11+2i\dfrac{1}{1 + 2i} sous forme algébrique.

1−2i(1+2i)(1−2i)\dfrac{1 - 2i}{(1 + 2i)(1 - 2i)}
On multiplie par le conjugué.
1−2i5\dfrac{1 - 2i}{5}
1² + 2² = 5.
15−25i\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}i
On sépare.

À toi, guidé

À toi : calcule (2+i)(2−i)(2 + i)(2 - i).

55
2² + 1².

Entraînement ★

  1. Calcule zzˉz\bar{z} pour z=5+7iz = 5 + 7i.
  2. Calcule zzˉz\bar{z} pour z=7+6iz = 7 + 6i.
  3. Calcule zzˉz\bar{z} pour z=6+7iz = 6 + 7i.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Écris 13+6i\dfrac{1}{ 3 + 6i } sous forme algébrique.
  2. Écris 14+3i\dfrac{1}{ 4 + 3i } sous forme algébrique.
  1. Écris 5+1ii\dfrac{ 5 + 1i }{i} sous forme algébrique.
  1. Quel est le conjugué de z=2−7iz = 2 - 7i ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule zzˉz\bar{z} pour z=5+7iz = 5 + 7i.
  2. Calcule zzˉz\bar{z} pour z=7+6iz = 7 + 6i.
  3. Calcule zzˉz\bar{z} pour z=6+7iz = 6 + 7i.

Fiche résumé

Conjugué

  • zˉ=a−ib\bar{z} = a - ib.
  • zzˉ=a2+b2z\bar{z} = a^2 + b^2, un réel positif.

Attention : le conjugué ne change pas la partie réelle.

3. Équations dans ℂ : az = b, équations avec z et son conjugué

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On cherche zz tel que iz=2iz = 2. Que vaut zz ?

  1. −2i-2i
  2. 2i2i

L'idée clé

On résout az=baz = b comme dans R\mathbb{R}. Pour une équation avec zˉ\bar{z}, on pose z=x+iyz = x + iy.

Si a≠0a \neq 0 : az=b  ⟺  z=baaz = b \iff z = \dfrac{b}{a}.

Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales.

Exemple corrigé

Résous z+2zˉ=6+iz + 2\bar{z} = 6 + i.

x+iy+2x−2iy=6+ix + iy + 2x - 2iy = 6 + i
On pose z = x + iy.
3x−iy=6+i3x - iy = 6 + i
On regroupe.
z=2−iz = 2 - i
On identifie : 3x = 6 et −y = 1.

À toi, guidé

À toi : résous 2z=4+6i2z = 4 + 6i.

z=2+3iz = 2 + 3i
On divise par 2.

Entraînement ★

  1. Résous iz=5+5iiz = 5 + 5i. Donne zz sous forme algébrique.
  2. Résous iz=5+3iiz = 5 + 3i. Donne zz sous forme algébrique.
  3. Résous iz=4+5iiz = 4 + 5i. Donne zz sous forme algébrique.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Résous z+2zˉ=9+1iz + 2\bar{z} = 9 + 1i. Donne zz sous forme algébrique.
  2. Résous z+2zˉ=18+3iz + 2\bar{z} = 18 + 3i. Donne zz sous forme algébrique.
  1. Résous 5z=15+20i5z = 15 + 20i. Donne zz sous forme algébrique.
  1. Résous z+4i=4+6iz + 4i = 4 + 6i. Donne zz sous forme algébrique.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous iz=5+5iiz = 5 + 5i. Donne zz sous forme algébrique.
  2. Résous iz=5+3iiz = 5 + 3i. Donne zz sous forme algébrique.
  3. Résous iz=4+5iiz = 4 + 5i. Donne zz sous forme algébrique.

Fiche résumé

Équations dans C\mathbb{C}

  • az=baz = b : on divise par aa.
  • Avec zˉ\bar{z} : on pose z=x+iyz = x + iy, puis on identifie.

Attention : identifie séparément parties réelle et imaginaire.

4. Formule du binôme dans ℂ

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Pour développer (1+i)3(1 + i)^3, on utilise le triangle de Pascal. Que vaut i3i^3 ?

  1. −i-i
  2. ii

L'idée clé

La formule du binôme reste vraie dans C\mathbb{C}.

(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a + b)^n = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}a^{n - k}b^k, pour tous complexes aa et bb.

Exemple corrigé

Développe (1+i)3(1 + i)^3.

1+3i+3i2+i31 + 3i + 3i^2 + i^3
Coefficients 1, 3, 3, 1.
1+3i−3−i1 + 3i - 3 - i
Puissances de i.
−2+2i-2 + 2i
On regroupe.

À toi, guidé

À toi : développe (2+i)2(2 + i)^2.

3+4i3 + 4i
4 + 4i + i².

Entraînement ★

  1. Développe (4+3i)2(4 + 3i)^2 sous forme algébrique.
  2. Développe (7+5i)2(7 + 5i)^2 sous forme algébrique.
  3. Développe (3+6i)2(3 + 6i)^2 sous forme algébrique.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Développe (4+i)3(4 + i)^3 sous forme algébrique.
  2. Développe (5+i)3(5 + i)^3 sous forme algébrique.
  1. Problème final. On pose z=2+2iz = 2 + 2i.
  1. Développe (3+1i)(3−1i)(3 + 1i)(3 - 1i).
  1. Dans le développement de (1+z)2(1 + z)^{ 2 }, quel est le coefficient de z2z^2 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Développe (4+3i)2(4 + 3i)^2 sous forme algébrique.
  2. Développe (7+5i)2(7 + 5i)^2 sous forme algébrique.
  3. Développe (3+6i)2(3 + 6i)^2 sous forme algébrique.

Fiche résumé

Binôme dans C\mathbb{C}

  • Mêmes coefficients que dans R\mathbb{R}.
  • Puissances de ii : i,−1,−i,1i, -1, -i, 1.

Attention : n'oublie pas les termes du milieu.

Corrigé: Nombres complexes : point de vue algébrique

1. L'ensemble des nombres complexes : forme algébrique et opérations

A

  1. 32+30i32 + 30 i
  2. −4+17i-4 + 17 i
  3. −15+25i-15 + 25 i

B

  1. −7-7
  2. −3-3

C

  1. −i- i

D

  1. 1717

E

  1. 32+30i32 + 30 i
  2. −4+17i-4 + 17 i
  3. −15+25i-15 + 25 i

2. Conjugué et inverse d'un nombre complexe

A

  1. 7474
  2. 8585
  3. 8585

B

  1. 115−2i15\frac{1}{15} - \frac{2 i}{15}
  2. 425−3i25\frac{4}{25} - \frac{3 i}{25}

C

  1. 1−5i1 - 5 i

D

  1. 2+7i2 + 7 i

E

  1. 7474
  2. 8585
  3. 8585

3. Équations dans ℂ : az = b, équations avec z et son conjugué

A

  1. 5−5i5 - 5 i
  2. 3−5i3 - 5 i
  3. 5−4i5 - 4 i

B

  1. 3−i3 - i
  2. 6−3i6 - 3 i

C

  1. 3+4i3 + 4 i

D

  1. 4+2i4 + 2 i

E

  1. 5−5i5 - 5 i
  2. 3−5i3 - 5 i
  3. 5−4i5 - 4 i

4. Formule du binôme dans ℂ

A

  1. 7+24i7 + 24 i
  2. 24+70i24 + 70 i
  3. −27+36i-27 + 36 i

B

  1. 52+47i52 + 47 i
  2. 110+74i110 + 74 i

C

  1. 14−i4\frac{1}{4} - \frac{i}{4}

D

  1. 1010

E

  1. 11

F

  1. 7+24i7 + 24 i
  2. 24+70i24 + 70 i
  3. −27+36i-27 + 36 i