Racines n-ièmes de l'unité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Combien de solutions complexes a $z^4 = 1$ ?

4
2

L'idée clé

Les racines de l'unité forment un polygone régulier sur le cercle unité.

Les racines $n$ -ièmes de l'unité sont les

n

nombres

\mathrm{e}^{2ik\pi/n}

, avec

k = 0, 1, \dots, n - 1

. On note leur ensemble

\mathbb{U}_n

. Leurs images sont les sommets d'un polygone régulier.

Exemple corrigé

Détermine $\mathbb{U}_3$ .

1

,

\mathrm{e}^{2i\pi/3}

,

\mathrm{e}^{4i\pi/3}

k = 0, 1, 2.

1

,

\dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2}

,

\dfrac{-1 - i\sqrt{3}}{2}

Forme algébrique.

À toi, guidé

À toi : combien d'éléments possède $\mathbb{U}_6$ ?

6

Autant que n.

Entraînement ★

Combien de solutions complexes l'équation $z^{ 8 } = 1$ a-t-elle ?
Combien de solutions complexes l'équation $z^{ 11 } = 1$ a-t-elle ?
Combien de solutions complexes l'équation $z^{ 3 } = 1$ a-t-elle ?

Attention !

Entraînement ★★

Quel est l'argument, dans $]0 ; \pi]$ , de la racine 5-ième de l'unité obtenue pour $k = 1$ ?
Quel est l'argument, dans $]0 ; \pi]$ , de la racine 3-ième de l'unité obtenue pour $k = 1$ ?

Problème final. On étudie $\mathbb{U}_{ 7 }$ .

Quelle est la somme des 4 racines 4-ièmes de l'unité ?
1. 0
2. 1
3. 4

Quelles sont les racines carrées de l'unité ?
1. $1$ et $-1$
2. $1$ seulement
3. $i$ et $-i$

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Combien de solutions complexes l'équation $z^{ 8 } = 1$ a-t-elle ?
Combien de solutions complexes l'équation $z^{ 11 } = 1$ a-t-elle ?
Combien de solutions complexes l'équation $z^{ 3 } = 1$ a-t-elle ?

Fiche résumé

Racines de l'unité

$\mathbb{U}_n = \{\mathrm{e}^{2ik\pi/n}, 0 \leq k \leq n - 1\}$ .
Polygone régulier à $n$ sommets.

Attention : il y en a exactement $n$ .

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