Nombres complexes en géométrie

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Nombres complexes et configurations du plan

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Pour AA, BB, CC d'affixes aa, bb, cc, que représente ∣c−a∣|c - a| ?

  1. La distance ACAC
  2. L'angle BAC^\widehat{BAC}

L'idée clé

Le quotient contient à la fois un rapport de longueurs et un angle.

Figure non à l'échelle

∣c−ab−a∣=ACAB\left|\dfrac{c - a}{b - a}\right| = \dfrac{AC}{AB} et arg⁡c−ab−a=(AB→,AC→)\arg\dfrac{c - a}{b - a} = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) à 2π2\pi près.

Si ce quotient est réel, AA, BB, CC sont alignés ; s'il est imaginaire pur non nul, (AB)(AB) et (AC)(AC) sont perpendiculaires.

Exemple corrigé

a=0a = 0, b=1+ib = 1 + i, c=−1+ic = -1 + i. Quelle est la nature de ABCABC ?

cb=−1+i1+i=i\dfrac{c}{b} = \dfrac{-1 + i}{1 + i} = i
Quotient.
ABCABC est rectangle isocèle en AA.
Module 1 : AC = AB ; argument π/2 : angle droit.

À toi, guidé

À toi : si c−ab−a=2\dfrac{c - a}{b - a} = 2, les points sont-ils alignés ? Quelle est la valeur de ACAB\dfrac{AC}{AB} ?

22
Le module de 2.

Entraînement ★

  1. On a c−ab−a=8i\dfrac{c - a}{b - a} = 8i. Que peut-on dire de (AB)(AB) et (AC)(AC) ?
    1. Elles sont perpendiculaires
    2. Elles sont parallèles
    3. AB=ACAB = AC
  2. On a c−ab−a=6i\dfrac{c - a}{b - a} = 6i. Que peut-on dire de (AB)(AB) et (AC)(AC) ?
    1. Elles sont perpendiculaires
    2. Elles sont parallèles
    3. AB=ACAB = AC
  3. On a c−ab−a=7i\dfrac{c - a}{b - a} = 7i. Que peut-on dire de (AB)(AB) et (AC)(AC) ?
    1. Elles sont perpendiculaires
    2. Elles sont parallèles
    3. AB=ACAB = AC

Attention !

Entraînement ★★

  1. On a c−ab−a=9+12i\dfrac{c - a}{b - a} = 9 + 12i. Calcule le rapport ACAB\dfrac{AC}{AB}.
  2. On a c−ab−a=6+8i\dfrac{c - a}{b - a} = 6 + 8i. Calcule le rapport ACAB\dfrac{AC}{AB}.
  1. Dans le plan complexe, c−ab−a=eiπ/3\dfrac{c - a}{b - a} = \mathrm{e}^{i\pi/3}. Quelle est la nature du triangle ABCABC ?
    1. Équilatéral
    2. Rectangle en AA
    3. Quelconque
  1. AA et BB ont pour affixes 10+12i10 + 12i et 4+2i4 + 2i. Quelle est l'affixe du milieu de [AB][AB] ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. On a c−ab−a=8i\dfrac{c - a}{b - a} = 8i. Que peut-on dire de (AB)(AB) et (AC)(AC) ?
    1. Elles sont perpendiculaires
    2. Elles sont parallèles
    3. AB=ACAB = AC
  2. On a c−ab−a=6i\dfrac{c - a}{b - a} = 6i. Que peut-on dire de (AB)(AB) et (AC)(AC) ?
    1. Elles sont perpendiculaires
    2. Elles sont parallèles
    3. AB=ACAB = AC
  3. On a c−ab−a=7i\dfrac{c - a}{b - a} = 7i. Que peut-on dire de (AB)(AB) et (AC)(AC) ?
    1. Elles sont perpendiculaires
    2. Elles sont parallèles
    3. AB=ACAB = AC

Fiche résumé

Géométrie

  • Module de c−ab−a\dfrac{c - a}{b - a} : rapport ACAB\dfrac{AC}{AB}.
  • Argument : angle (AB→,AC→)(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}).

Attention : réel : alignés ; imaginaire pur : perpendiculaires.

2. Racines n-ièmes de l'unité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Combien de solutions complexes a z4=1z^4 = 1 ?

  1. 4
  2. 2

L'idée clé

Les racines de l'unité forment un polygone régulier sur le cercle unité.

Les racines nn-ièmes de l'unité sont les nn nombres e2ikπ/n\mathrm{e}^{2ik\pi/n}, avec k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \dots, n - 1. On note leur ensemble Un\mathbb{U}_n. Leurs images sont les sommets d'un polygone régulier.

Exemple corrigé

Détermine U3\mathbb{U}_3.

11, e2iπ/3\mathrm{e}^{2i\pi/3}, e4iπ/3\mathrm{e}^{4i\pi/3}
k = 0, 1, 2.
11, −1+i32\dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, −1−i32\dfrac{-1 - i\sqrt{3}}{2}
Forme algébrique.

À toi, guidé

À toi : combien d'éléments possède U6\mathbb{U}_6 ?

66
Autant que n.

Entraînement ★

  1. Combien de solutions complexes l'équation z8=1z^{ 8 } = 1 a-t-elle ?
  2. Combien de solutions complexes l'équation z11=1z^{ 11 } = 1 a-t-elle ?
  3. Combien de solutions complexes l'équation z3=1z^{ 3 } = 1 a-t-elle ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quel est l'argument, dans ]0;π]]0 ; \pi], de la racine 5-ième de l'unité obtenue pour k=1k = 1 ?
  2. Quel est l'argument, dans ]0;π]]0 ; \pi], de la racine 3-ième de l'unité obtenue pour k=1k = 1 ?
  1. Problème final. On étudie U7\mathbb{U}_{ 7 }.
  1. Quelle est la somme des 4 racines 4-ièmes de l'unité ?
    1. 0
    2. 1
    3. 4
  1. Quelles sont les racines carrées de l'unité ?
    1. 11 et −1-1
    2. 11 seulement
    3. ii et −i-i

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Combien de solutions complexes l'équation z8=1z^{ 8 } = 1 a-t-elle ?
  2. Combien de solutions complexes l'équation z11=1z^{ 11 } = 1 a-t-elle ?
  3. Combien de solutions complexes l'équation z3=1z^{ 3 } = 1 a-t-elle ?

Fiche résumé

Racines de l'unité

  • Un={e2ikπ/n,0≤k≤n−1}\mathbb{U}_n = \{\mathrm{e}^{2ik\pi/n}, 0 \leq k \leq n - 1\}.
  • Polygone régulier à nn sommets.

Attention : il y en a exactement nn.

Corrigé: Nombres complexes en géométrie

1. Nombres complexes et configurations du plan

A

  1. Elles sont perpendiculaires
  2. Elles sont perpendiculaires
  3. Elles sont perpendiculaires

B

  1. 1515
  2. 1010

C

  1. Équilatéral

D

  1. 7+7i7 + 7 i

E

  1. Elles sont perpendiculaires
  2. Elles sont perpendiculaires
  3. Elles sont perpendiculaires

2. Racines n-ièmes de l'unité

A

  1. 88
  2. 1111
  3. 33

B

  1. 2π5\frac{2 \pi}{5}
  2. 2π3\frac{2 \pi}{3}

C

  1. 00

D

  1. 0

E

  1. 11 et −1-1

F

  1. 88
  2. 1111
  3. 33