Arguments et forme trigonométrique

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques expertes › Nombres complexes : point de vue géométrique

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Arguments et forme trigonométrique

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Le point d'affixe ii est sur l'axe des ordonnées, au-dessus de l'origine. Quel angle fait OM→\overrightarrow{OM} avec l'axe des abscisses ?

  1. π2\dfrac{\pi}{2}
  2. π\pi

L'idée clé

Un argument est défini à 2π2\pi près.

Pour z≠0z \neq 0, un argument θ\theta de zz est une mesure de l'angle (u⃗,OM→)(\vec{u}, \overrightarrow{OM}).

Forme trigonométrique : z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta), avec r=∣z∣r = |z|, cos⁡θ=ar\cos\theta = \dfrac{a}{r} et sin⁡θ=br\sin\theta = \dfrac{b}{r}.

Exemple corrigé

Écris z=1+i3z = 1 + i\sqrt{3} sous forme trigonométrique.

r=1+3=2r = \sqrt{1 + 3} = 2
Module.
θ=π3\theta = \dfrac{\pi}{3}
cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2.
z=2(cos⁡π3+isin⁡π3)z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)
On écrit.

À toi, guidé

À toi : quel est un argument de z=−3z = -3 ? (donne une valeur en radians)

π\pi
Sur l'axe des abscisses, du côté négatif.

Entraînement ★

  1. Quel est un argument de z=2+2iz = 2 + 2i ?
    1. π4\dfrac{\pi}{4}
    2. π2\dfrac{\pi}{2}
    3. −π4-\dfrac{\pi}{4}
  2. Quel est un argument de z=6+6iz = 6 + 6i ?
    1. π4\dfrac{\pi}{4}
    2. π2\dfrac{\pi}{2}
    3. −π4-\dfrac{\pi}{4}
  3. Quel est un argument de z=1+1iz = 1 + 1i ?
    1. π4\dfrac{\pi}{4}
    2. π2\dfrac{\pi}{2}
    3. −π4-\dfrac{\pi}{4}

Attention !

Entraînement ★★

  1. Écris z=8(cos⁡π2+isin⁡π2)z = 8\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) sous forme algébrique.
  2. Écris z=5(cos⁡π2+isin⁡π2)z = 5\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) sous forme algébrique.
  1. Problème final. On pose z=5−5iz = 5 - 5i.
  1. Quel est le module de z=2(cos⁡π5+isin⁡π5)z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{5} + i\sin\dfrac{\pi}{5}\right) ?
  1. Quel est un argument de z=7iz = 7i ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quel est un argument de z=2+2iz = 2 + 2i ?
    1. π4\dfrac{\pi}{4}
    2. π2\dfrac{\pi}{2}
    3. −π4-\dfrac{\pi}{4}
  2. Quel est un argument de z=6+6iz = 6 + 6i ?
    1. π4\dfrac{\pi}{4}
    2. π2\dfrac{\pi}{2}
    3. −π4-\dfrac{\pi}{4}
  3. Quel est un argument de z=1+1iz = 1 + 1i ?
    1. π4\dfrac{\pi}{4}
    2. π2\dfrac{\pi}{2}
    3. −π4-\dfrac{\pi}{4}

Fiche résumé

Forme trigonométrique

  • z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta).
  • r=∣z∣r = |z|.

Attention : vérifie cosinus et sinus pour choisir le quadrant.

Fin de la leçon

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Corrigé: Arguments et forme trigonométrique

A

  1. π4\dfrac{\pi}{4}
  2. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. π4\dfrac{\pi}{4}

B

  1. 8i8 i
  2. 5i5 i

C

  1. 5050

D

  1. 22

E

  1. π2\dfrac{\pi}{2}

F

  1. π4\dfrac{\pi}{4}
  2. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. π4\dfrac{\pi}{4}

CC BY-SA 4.0