Nombres complexes : point de vue géométrique

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Affixe et module d'un nombre complexe

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Le point MM a pour affixe z=3+4iz = 3 + 4i. Quelle est la distance OMOM ?

  1. 55
  2. 77

L'idée clé

Dans un repère orthonormé direct, à z=a+ibz = a + ib on associe le point M(a;b)M(a ; b).

zz est l'affixe de MM. Le module ∣z∣=a2+b2=OM|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = OM, et ∣z∣2=zzˉ|z|^2 = z\bar{z}.

∣zz′∣=∣z∣×∣z′∣|zz'| = |z| \times |z'|, ∣1z∣=1∣z∣\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|} et ∣zn∣=∣z∣n|z^n| = |z|^n. L'ensemble U\mathbb{U} des complexes de module 1 est stable par produit et par passage à l'inverse.

Exemple corrigé

Calcule ∣(1+i)4∣|(1 + i)^4|.

∣1+i∣=2|1 + i| = \sqrt{2}
Le module de 1 + i.
∣(1+i)4∣=(2)4=4|(1 + i)^4| = (\sqrt{2})^4 = 4
Module d'une puissance.

À toi, guidé

À toi : calcule ∣5−12i∣|5 - 12i|.

1313
√(25 + 144).

Entraînement ★

  1. Calcule le module de z=12+16iz = 12 + 16i.
  2. Calcule le module de z=9+12iz = 9 + 12i.
  3. Calcule le module de z=6+8iz = 6 + 8i.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Sachant que ∣z∣=2|z| = 2 et ∣z′∣=2|z'| = 2, calcule ∣z2z′∣|z^2 z'|.
  2. Sachant que ∣z∣=4|z| = 4 et ∣z′∣=2|z'| = 2, calcule ∣z2z′∣|z^2 z'|.
  1. Les points AA et BB ont pour affixes zA=5+1iz_A = 5 + 1i et zB=14+13iz_B = 14 + 13i. Calcule ABAB.
  1. ∣z∣=15|z| = 15. Calcule ∣zˉ∣|\bar{z}|.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule le module de z=12+16iz = 12 + 16i.
  2. Calcule le module de z=9+12iz = 9 + 12i.
  3. Calcule le module de z=6+8iz = 6 + 8i.

Fiche résumé

Module

  • ∣a+ib∣=a2+b2|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}.
  • ∣zz′∣=∣z∣×∣z′∣|zz'| = |z| \times |z'|.

Attention : le module est un réel positif, sans ii.

2. Arguments et forme trigonométrique

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Le point d'affixe ii est sur l'axe des ordonnées, au-dessus de l'origine. Quel angle fait OM→\overrightarrow{OM} avec l'axe des abscisses ?

  1. π2\dfrac{\pi}{2}
  2. π\pi

L'idée clé

Un argument est défini à 2π2\pi près.

Pour z≠0z \neq 0, un argument θ\theta de zz est une mesure de l'angle (u⃗,OM→)(\vec{u}, \overrightarrow{OM}).

Forme trigonométrique : z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta), avec r=∣z∣r = |z|, cos⁡θ=ar\cos\theta = \dfrac{a}{r} et sin⁡θ=br\sin\theta = \dfrac{b}{r}.

Exemple corrigé

Écris z=1+i3z = 1 + i\sqrt{3} sous forme trigonométrique.

r=1+3=2r = \sqrt{1 + 3} = 2
Module.
θ=π3\theta = \dfrac{\pi}{3}
cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2.
z=2(cos⁡π3+isin⁡π3)z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)
On écrit.

À toi, guidé

À toi : quel est un argument de z=−3z = -3 ? (donne une valeur en radians)

π\pi
Sur l'axe des abscisses, du côté négatif.

Entraînement ★

  1. Quel est un argument de z=2+2iz = 2 + 2i ?
    1. π4\dfrac{\pi}{4}
    2. π2\dfrac{\pi}{2}
    3. −π4-\dfrac{\pi}{4}
  2. Quel est un argument de z=6+6iz = 6 + 6i ?
    1. π4\dfrac{\pi}{4}
    2. π2\dfrac{\pi}{2}
    3. −π4-\dfrac{\pi}{4}
  3. Quel est un argument de z=1+1iz = 1 + 1i ?
    1. π4\dfrac{\pi}{4}
    2. π2\dfrac{\pi}{2}
    3. −π4-\dfrac{\pi}{4}

Attention !

Entraînement ★★

  1. Écris z=8(cos⁡π2+isin⁡π2)z = 8\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) sous forme algébrique.
  2. Écris z=5(cos⁡π2+isin⁡π2)z = 5\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) sous forme algébrique.
  1. Problème final. On pose z=5−5iz = 5 - 5i.
  1. Quel est le module de z=2(cos⁡π5+isin⁡π5)z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{5} + i\sin\dfrac{\pi}{5}\right) ?
  1. Quel est un argument de z=7iz = 7i ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quel est un argument de z=2+2iz = 2 + 2i ?
    1. π4\dfrac{\pi}{4}
    2. π2\dfrac{\pi}{2}
    3. −π4-\dfrac{\pi}{4}
  2. Quel est un argument de z=6+6iz = 6 + 6i ?
    1. π4\dfrac{\pi}{4}
    2. π2\dfrac{\pi}{2}
    3. −π4-\dfrac{\pi}{4}
  3. Quel est un argument de z=1+1iz = 1 + 1i ?
    1. π4\dfrac{\pi}{4}
    2. π2\dfrac{\pi}{2}
    3. −π4-\dfrac{\pi}{4}

Fiche résumé

Forme trigonométrique

  • z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta).
  • r=∣z∣r = |z|.

Attention : vérifie cosinus et sinus pour choisir le quadrant.

Corrigé: Nombres complexes : point de vue géométrique

1. Affixe et module d'un nombre complexe

A

  1. 2020
  2. 1515
  3. 1010

B

  1. 88
  2. 3232

C

  1. 1515

D

  1. 1515

E

  1. 2020
  2. 1515
  3. 1010

2. Arguments et forme trigonométrique

A

  1. π4\dfrac{\pi}{4}
  2. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. π4\dfrac{\pi}{4}

B

  1. 8i8 i
  2. 5i5 i

C

  1. 5050

D

  1. 22

E

  1. π2\dfrac{\pi}{2}

F

  1. π4\dfrac{\pi}{4}
  2. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. π4\dfrac{\pi}{4}