Factorisation par z − a et racines d'un polynôme

À propos de cette leçon

Terminale, mathématiques expertes › Équations polynomiales

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Factorisation par z − a et racines d'un polynôme

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

P(z)=z3−1P(z) = z^3 - 1 vérifie P(1)=0P(1) = 0. Par quoi peut-on factoriser PP ?

  1. z−1z - 1
  2. z+1z + 1

L'idée clé

Une racine donne un facteur.

zn−an=(z−a)(zn−1+azn−2+⋯+an−1)z^n - a^n = (z - a)(z^{n - 1} + az^{n - 2} + \dots + a^{n - 1}).

Si P(a)=0P(a) = 0, alors P(z)=(z−a)Q(z)P(z) = (z - a)Q(z). Un polynôme de degré nn a au plus nn racines.

Exemple corrigé

Résous z3−1=0z^3 - 1 = 0.

(z−1)(z2+z+1)=0(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0
Factorisation.
z=−1±i32z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
Discriminant du second facteur : −3.
11, −1+i32\dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, −1−i32\dfrac{-1 - i\sqrt{3}}{2}
Trois solutions au total.

À toi, guidé

À toi : combien de racines peut avoir au plus un polynôme de degré 4 ?

44
Au plus son degré.

Entraînement ★

  1. Le polynôme P(z)=(z−6)(z2+9)P(z) = (z - 6)(z^2 + 9) a une racine réelle. Laquelle ?
  2. Le polynôme P(z)=(z−6)(z2+36)P(z) = (z - 6)(z^2 + 36) a une racine réelle. Laquelle ?
  3. Le polynôme P(z)=(z−2)(z2+1)P(z) = (z - 2)(z^2 + 1) a une racine réelle. Laquelle ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. On écrit z2−9=(z−3)(z+k)z^2 - 9 = (z - 3)(z + k). Que vaut kk ?
  2. On écrit z2−25=(z−5)(z+k)z^2 - 25 = (z - 5)(z + k). Que vaut kk ?
  1. Problème final. On étudie P(z)=(z−5)(z2+9)P(z) = (z - 5)(z^2 + 9).
  1. Combien de racines complexes, comptées avec multiplicité, un polynôme de degré 5 a-t-il ?
  1. P(z)=(z−4)(z2+25)P(z) = (z - 4)(z^2 + 25). Calcule P(5i)P(5i).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Le polynôme P(z)=(z−6)(z2+9)P(z) = (z - 6)(z^2 + 9) a une racine réelle. Laquelle ?
  2. Le polynôme P(z)=(z−6)(z2+36)P(z) = (z - 6)(z^2 + 36) a une racine réelle. Laquelle ?
  3. Le polynôme P(z)=(z−2)(z2+1)P(z) = (z - 2)(z^2 + 1) a une racine réelle. Laquelle ?

Fiche résumé

Racines et facteurs

  • P(a)=0  ⟺  P(z)=(z−a)Q(z)P(a) = 0 \iff P(z) = (z - a)Q(z).
  • Degré nn : au plus nn racines.

Attention : le facteur associé à la racine aa est z−az - a.

Fin de la leçon

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Corrigé: Factorisation par z − a et racines d'un polynôme

A

  1. 66
  2. 66
  3. 22

B

  1. 33
  2. 55

C

  1. 33

D

  1. 55

E

  1. 00

F

  1. 66
  2. 66
  3. 22

CC BY-SA 4.0