Équations polynomiales

Imprimer le chapitre

Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Pour obtenir un PDF, choisis « Enregistrer au format PDF » dans la fenêtre d'impression.

1. Équations du second degré dans ℂ

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

z2+4=0z^2 + 4 = 0 a-t-elle des solutions dans C\mathbb{C} ?

  1. Oui : 2i2i et −2i-2i
  2. Oui : seulement 2i2i

L'idée clé

Dans C\mathbb{C}, toute équation du second degré à coefficients réels a des solutions.

Avec Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac, pour Δ<0\Delta < 0 : z=−b±i−Δ2az = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}. Les deux solutions sont conjuguées.

Exemple corrigé

Résous z2−2z+5=0z^2 - 2z + 5 = 0.

Δ=4−20=−16\Delta = 4 - 20 = -16
Discriminant.
z=2±4i2z = \dfrac{2 \pm 4i}{2}
On applique la formule.
z=1+2iz = 1 + 2i ou z=1−2iz = 1 - 2i
On simplifie.

À toi, guidé

À toi : que vaut Δ\Delta pour z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0 ?

−3-3
1 − 4.

Entraînement ★

  1. Quelles sont les solutions de (z−2)2+16=0(z - 2)^2 + 16 = 0 ?
    1. 2+4i2 + 4i et 2−4i2 - 4i
    2. 2+4i2 + 4i uniquement
    3. 2+42 + 4 et 2−42 - 4
  2. Quelles sont les solutions de (z−1)2+25=0(z - 1)^2 + 25 = 0 ?
    1. 1+5i1 + 5i et 1−5i1 - 5i
    2. 1+5i1 + 5i uniquement
    3. 1+51 + 5 et 1−51 - 5
  3. Quelles sont les solutions de (z−5)2+16=0(z - 5)^2 + 16 = 0 ?
    1. 5+4i5 + 4i et 5−4i5 - 4i
    2. 5+4i5 + 4i uniquement
    3. 5+45 + 4 et 5−45 - 4

Attention !

Entraînement ★★

  1. L'équation z2−10z+50=0z^2 - 10z + 50 = 0 a une solution de partie imaginaire positive. Laquelle ?
  2. L'équation z2−2z+5=0z^2 - 2z + 5 = 0 a une solution de partie imaginaire positive. Laquelle ?
  1. Calcule le discriminant de z2+3z+16=0z^2 + 3z + 16 = 0.
  1. Une équation du second degré à coefficients réels a pour solution 4+4i4 + 4i. Quelle est l'autre solution ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelles sont les solutions de (z−2)2+16=0(z - 2)^2 + 16 = 0 ?
    1. 2+4i2 + 4i et 2−4i2 - 4i
    2. 2+4i2 + 4i uniquement
    3. 2+42 + 4 et 2−42 - 4
  2. Quelles sont les solutions de (z−1)2+25=0(z - 1)^2 + 25 = 0 ?
    1. 1+5i1 + 5i et 1−5i1 - 5i
    2. 1+5i1 + 5i uniquement
    3. 1+51 + 5 et 1−51 - 5
  3. Quelles sont les solutions de (z−5)2+16=0(z - 5)^2 + 16 = 0 ?
    1. 5+4i5 + 4i et 5−4i5 - 4i
    2. 5+4i5 + 4i uniquement
    3. 5+45 + 4 et 5−45 - 4

Fiche résumé

Second degré dans C\mathbb{C}

  • Δ<0\Delta < 0 : deux solutions conjuguées.
  • z=−b±i−Δ2az = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}.

Attention : n'oublie pas la racine conjuguée.

2. Factorisation par z − a et racines d'un polynôme

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

P(z)=z3−1P(z) = z^3 - 1 vérifie P(1)=0P(1) = 0. Par quoi peut-on factoriser PP ?

  1. z−1z - 1
  2. z+1z + 1

L'idée clé

Une racine donne un facteur.

zn−an=(z−a)(zn−1+azn−2+⋯+an−1)z^n - a^n = (z - a)(z^{n - 1} + az^{n - 2} + \dots + a^{n - 1}).

Si P(a)=0P(a) = 0, alors P(z)=(z−a)Q(z)P(z) = (z - a)Q(z). Un polynôme de degré nn a au plus nn racines.

Exemple corrigé

Résous z3−1=0z^3 - 1 = 0.

(z−1)(z2+z+1)=0(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0
Factorisation.
z=−1±i32z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
Discriminant du second facteur : −3.
11, −1+i32\dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, −1−i32\dfrac{-1 - i\sqrt{3}}{2}
Trois solutions au total.

À toi, guidé

À toi : combien de racines peut avoir au plus un polynôme de degré 4 ?

44
Au plus son degré.

Entraînement ★

  1. Le polynôme P(z)=(z−6)(z2+9)P(z) = (z - 6)(z^2 + 9) a une racine réelle. Laquelle ?
  2. Le polynôme P(z)=(z−6)(z2+36)P(z) = (z - 6)(z^2 + 36) a une racine réelle. Laquelle ?
  3. Le polynôme P(z)=(z−2)(z2+1)P(z) = (z - 2)(z^2 + 1) a une racine réelle. Laquelle ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. On écrit z2−9=(z−3)(z+k)z^2 - 9 = (z - 3)(z + k). Que vaut kk ?
  2. On écrit z2−25=(z−5)(z+k)z^2 - 25 = (z - 5)(z + k). Que vaut kk ?
  1. Problème final. On étudie P(z)=(z−5)(z2+9)P(z) = (z - 5)(z^2 + 9).
  1. Combien de racines complexes, comptées avec multiplicité, un polynôme de degré 5 a-t-il ?
  1. P(z)=(z−4)(z2+25)P(z) = (z - 4)(z^2 + 25). Calcule P(5i)P(5i).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Le polynôme P(z)=(z−6)(z2+9)P(z) = (z - 6)(z^2 + 9) a une racine réelle. Laquelle ?
  2. Le polynôme P(z)=(z−6)(z2+36)P(z) = (z - 6)(z^2 + 36) a une racine réelle. Laquelle ?
  3. Le polynôme P(z)=(z−2)(z2+1)P(z) = (z - 2)(z^2 + 1) a une racine réelle. Laquelle ?

Fiche résumé

Racines et facteurs

  • P(a)=0  ⟺  P(z)=(z−a)Q(z)P(a) = 0 \iff P(z) = (z - a)Q(z).
  • Degré nn : au plus nn racines.

Attention : le facteur associé à la racine aa est z−az - a.

Corrigé: Équations polynomiales

1. Équations du second degré dans ℂ

A

  1. 2+4i2 + 4i et 2−4i2 - 4i
  2. 1+5i1 + 5i et 1−5i1 - 5i
  3. 5+4i5 + 4i et 5−4i5 - 4i

B

  1. 5+5i5 + 5 i
  2. 1+2i1 + 2 i

C

  1. −55-55

D

  1. 4−4i4 - 4 i

E

  1. 2+4i2 + 4i et 2−4i2 - 4i
  2. 1+5i1 + 5i et 1−5i1 - 5i
  3. 5+4i5 + 4i et 5−4i5 - 4i

2. Factorisation par z − a et racines d'un polynôme

A

  1. 66
  2. 66
  3. 22

B

  1. 33
  2. 55

C

  1. 33

D

  1. 55

E

  1. 00

F

  1. 66
  2. 66
  3. 22