Formules d'Euler et de Moivre

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Que vaut $\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta}$ ?

$2\cos\theta$
$2\sin\theta$

L'idée clé

Ces formules servent à transformer les expressions trigonométriques.

Euler : $\cos\theta = \dfrac{\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\mathrm{e}^{i\theta} - \mathrm{e}^{-i\theta}}{2i}$ .

Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ .

Exemple corrigé

Exprime $\cos^2\theta$ en fonction de $\cos 2\theta$ .

\cos^2\theta = \dfrac{(\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta})^2}{4}

Euler.

\dfrac{\mathrm{e}^{2i\theta} + 2 + \mathrm{e}^{-2i\theta}}{4}

On développe.

\dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}

Euler à nouveau.

À toi, guidé

À toi : avec la formule de Moivre, quel est le coefficient $n$ dans $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ ?

3

Puissance 3.

Entraînement ★

D'après la formule de Moivre, quel argument a $\left(\cos\dfrac{\pi}{ 6 } + i\sin\dfrac{\pi}{ 6 }\right)^{ 9 }$ ?
D'après la formule de Moivre, quel argument a $\left(\cos\dfrac{\pi}{ 6 } + i\sin\dfrac{\pi}{ 6 }\right)^{ 4 }$ ?

Laquelle de ces expressions est égale à $\mathrm{e}^{i2x} - \mathrm{e}^{-i2x}$ ?
1. $2i\sin(2x)$
2. $2\sin(2x)$
3. $2\cos(2x)$

Attention !

Entraînement ★★

D'après $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$ , calcule la valeur de $\displaystyle\int_0^{ 6\pi} \cos^2 x\,\mathrm{d}x$ .
D'après $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$ , calcule la valeur de $\displaystyle\int_0^{ 12\pi} \cos^2 x\,\mathrm{d}x$ .

Problème final. On étudie $z = 1 + i$ et sa puissance $z^{ 24 }$ .

Quel est le module de $\left(\cos\dfrac{\pi}{7} + i\sin\dfrac{\pi}{7}\right)^{ 2 }$ ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

D'après la formule de Moivre, quel argument a $\left(\cos\dfrac{\pi}{ 6 } + i\sin\dfrac{\pi}{ 6 }\right)^{ 9 }$ ?
D'après la formule de Moivre, quel argument a $\left(\cos\dfrac{\pi}{ 6 } + i\sin\dfrac{\pi}{ 6 }\right)^{ 4 }$ ?
D'après la formule de Moivre, quel argument a $\left(\cos\dfrac{\pi}{ 7 } + i\sin\dfrac{\pi}{ 7 }\right)^{ 4 }$ ?

Fiche résumé

Euler et Moivre

$\cos\theta = \dfrac{\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta}}{2}$ .
$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ .

Attention : au facteur $2i$ dans le sinus.

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