Nombres complexes et trigonométrie

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Formules d'addition et de duplication

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On a cos⁡(π2+π2)=cos⁡π=−1\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\pi = -1. A-t-on cos⁡π2+cos⁡π2=−1\cos\dfrac{\pi}{2} + \cos\dfrac{\pi}{2} = -1 ?

  1. Non : le cosinus d'une somme n'est pas la somme des cosinus
  2. Oui

L'idée clé

Ces formules se démontrent avec le produit scalaire.

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b et sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.

Duplication : cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 et sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2\sin a\cos a.

Exemple corrigé

Calcule cos⁡7π12\cos\dfrac{7\pi}{12}, avec 7π12=π3+π4\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4}.

cos⁡π3cos⁡π4−sin⁡π3sin⁡π4\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4} - \sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}
Formule d'addition.
12×22−32×22\dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}
Valeurs remarquables.
2−64\dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
On rassemble.

À toi, guidé

À toi : si cos⁡a=12\cos a = \dfrac{1}{2}, que vaut cos⁡2a\cos 2a ?

−12-\dfrac{1}{2}
2 × 1/4 − 1.

Entraînement ★

  1. On a sin⁡x=12\sin x = \dfrac{1}{ 2 }. Calcule cos⁡2x\cos 2x.
  2. On a sin⁡x=16\sin x = \dfrac{1}{ 6 }. Calcule cos⁡2x\cos 2x.
  3. On a sin⁡x=15\sin x = \dfrac{1}{ 5 }. Calcule cos⁡2x\cos 2x.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Calcule sin⁡2π3\sin\dfrac{2\pi}{ 3 }, à l'aide de la formule de duplication.
  2. Calcule sin⁡2π4\sin\dfrac{2\pi}{ 4 }, à l'aide de la formule de duplication.
  1. Quelle formule donne cos⁡(a+b)\cos(a + b) ?
    1. cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos a\cos b - \sin a\sin b
    2. cos⁡a+cos⁡b\cos a + \cos b
    3. cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos a\cos b + \sin a\sin b
  1. Quelle formule donne sin⁡(a+b)\sin(a + b) ?
    1. sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin a\cos b + \cos a\sin b
    2. sin⁡a+sin⁡b\sin a + \sin b
    3. sin⁡asin⁡b−cos⁡acos⁡b\sin a\sin b - \cos a\cos b

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. On a sin⁡x=12\sin x = \dfrac{1}{ 2 }. Calcule cos⁡2x\cos 2x.
  2. On a sin⁡x=16\sin x = \dfrac{1}{ 6 }. Calcule cos⁡2x\cos 2x.
  3. On a sin⁡x=15\sin x = \dfrac{1}{ 5 }. Calcule cos⁡2x\cos 2x.

Fiche résumé

Formules

  • cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.
  • sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.

Attention : au signe moins du cosinus.

2. Exponentielle imaginaire et forme exponentielle

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Avec la notation eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ\mathrm{e}^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta, que vaut eiπ\mathrm{e}^{i\pi} ?

  1. −1-1
  2. 11

L'idée clé

La notation rend les produits très simples.

eiθ eiθ′=ei(θ+θ′)\mathrm{e}^{i\theta}\,\mathrm{e}^{i\theta'} = \mathrm{e}^{i(\theta + \theta')}.

Forme exponentielle : z=reiθz = r\mathrm{e}^{i\theta}, avec r=∣z∣r = |z|. Dans un produit, les modules se multiplient et les arguments s'additionnent.

Exemple corrigé

Calcule (1+i)8(1 + i)^8.

1+i=2 eiπ/41 + i = \sqrt{2}\,\mathrm{e}^{i\pi/4}
Forme exponentielle.
(2)8 e2iπ(\sqrt{2})^8\,\mathrm{e}^{2i\pi}
Puissance 8.
1616
On conclut.

À toi, guidé

À toi : écris 3eiπ/23\mathrm{e}^{i\pi/2} sous forme algébrique.

3i3i
cos(π/2) = 0 et sin(π/2) = 1.

Entraînement ★

  1. Calcule le module de 3eiπ/3×3eiπ/53\mathrm{e}^{i\pi/3} \times 3\mathrm{e}^{i\pi/5}.
  2. Calcule le module de 5eiπ/3×5eiπ/55\mathrm{e}^{i\pi/3} \times 5\mathrm{e}^{i\pi/5}.
  3. Calcule le module de 2eiπ/3×3eiπ/52\mathrm{e}^{i\pi/3} \times 3\mathrm{e}^{i\pi/5}.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la forme algébrique de 5eiπ5\mathrm{e}^{i\pi} ?
    1. −5-5
    2. 55
    3. 5i5i
  2. Quelle est la forme algébrique de 3eiπ3\mathrm{e}^{i\pi} ?
    1. −3-3
    2. 33
    3. 3i3i
  1. Calcule (1+i)32(1 + i)^{ 32 }.
  1. Quel est l'argument de ei4π/10×ei2π/10\mathrm{e}^{i4\pi/10} \times \mathrm{e}^{i2\pi/10} ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule le module de 3eiπ/3×3eiπ/53\mathrm{e}^{i\pi/3} \times 3\mathrm{e}^{i\pi/5}.
  2. Calcule le module de 5eiπ/3×5eiπ/55\mathrm{e}^{i\pi/3} \times 5\mathrm{e}^{i\pi/5}.
  3. Calcule le module de 2eiπ/3×3eiπ/52\mathrm{e}^{i\pi/3} \times 3\mathrm{e}^{i\pi/5}.

Fiche résumé

Forme exponentielle

  • z=reiθz = r\mathrm{e}^{i\theta}.
  • Produit : on multiplie les modules, on additionne les arguments.

Attention : ne confonds pas produit et somme de complexes.

3. Formules d'Euler et de Moivre

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Que vaut eiθ+e−iθ\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta} ?

  1. 2cos⁡θ2\cos\theta
  2. 2sin⁡θ2\sin\theta

L'idée clé

Ces formules servent à transformer les expressions trigonométriques.

Euler : cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \dfrac{\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta}}{2} et sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta = \dfrac{\mathrm{e}^{i\theta} - \mathrm{e}^{-i\theta}}{2i}.

Moivre : (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).

Exemple corrigé

Exprime cos⁡2θ\cos^2\theta en fonction de cos⁡2θ\cos 2\theta.

cos⁡2θ=(eiθ+e−iθ)24\cos^2\theta = \dfrac{(\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta})^2}{4}
Euler.
e2iθ+2+e−2iθ4\dfrac{\mathrm{e}^{2i\theta} + 2 + \mathrm{e}^{-2i\theta}}{4}
On développe.
1+cos⁡2θ2\dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}
Euler à nouveau.

À toi, guidé

À toi : avec la formule de Moivre, quel est le coefficient nn dans (cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) ?

33
Puissance 3.

Entraînement ★

  1. D'après la formule de Moivre, quel argument a (cos⁡π6+isin⁡π6)9\left(\cos\dfrac{\pi}{ 6 } + i\sin\dfrac{\pi}{ 6 }\right)^{ 9 } ?
  2. D'après la formule de Moivre, quel argument a (cos⁡π6+isin⁡π6)4\left(\cos\dfrac{\pi}{ 6 } + i\sin\dfrac{\pi}{ 6 }\right)^{ 4 } ?
  1. Laquelle de ces expressions est égale à ei2x−e−i2x\mathrm{e}^{i2x} - \mathrm{e}^{-i2x} ?
    1. 2isin⁡(2x)2i\sin(2x)
    2. 2sin⁡(2x)2\sin(2x)
    3. 2cos⁡(2x)2\cos(2x)

Attention !

Entraînement ★★

  1. D'après cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}, calcule la valeur de ∫06πcos⁡2x dx\displaystyle\int_0^{ 6\pi} \cos^2 x\,\mathrm{d}x.
  2. D'après cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}, calcule la valeur de ∫012πcos⁡2x dx\displaystyle\int_0^{ 12\pi} \cos^2 x\,\mathrm{d}x.
  1. Problème final. On étudie z=1+iz = 1 + i et sa puissance z24z^{ 24 }.
  1. Quel est le module de (cos⁡π7+isin⁡π7)2\left(\cos\dfrac{\pi}{7} + i\sin\dfrac{\pi}{7}\right)^{ 2 } ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. D'après la formule de Moivre, quel argument a (cos⁡π6+isin⁡π6)9\left(\cos\dfrac{\pi}{ 6 } + i\sin\dfrac{\pi}{ 6 }\right)^{ 9 } ?
  2. D'après la formule de Moivre, quel argument a (cos⁡π6+isin⁡π6)4\left(\cos\dfrac{\pi}{ 6 } + i\sin\dfrac{\pi}{ 6 }\right)^{ 4 } ?
  3. D'après la formule de Moivre, quel argument a (cos⁡π7+isin⁡π7)4\left(\cos\dfrac{\pi}{ 7 } + i\sin\dfrac{\pi}{ 7 }\right)^{ 4 } ?

Fiche résumé

Euler et Moivre

  • cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \dfrac{\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta}}{2}.
  • (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta.

Attention : au facteur 2i2i dans le sinus.

Corrigé: Nombres complexes et trigonométrie

1. Formules d'addition et de duplication

A

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 1718\frac{17}{18}
  3. 2325\frac{23}{25}

B

  1. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. 11

C

  1. cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos a\cos b - \sin a\sin b

D

  1. sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin a\cos b + \cos a\sin b

E

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 1718\frac{17}{18}
  3. 2325\frac{23}{25}

2. Exponentielle imaginaire et forme exponentielle

A

  1. 99
  2. 2525
  3. 66

B

  1. −5-5
  2. −3-3

C

  1. 6553665536

D

  1. 3π5\frac{3 \pi}{5}

E

  1. 99
  2. 2525
  3. 66

3. Formules d'Euler et de Moivre

A

  1. 3π2\frac{3 \pi}{2}
  2. 2π3\frac{2 \pi}{3}

B

  1. 2isin⁡(2x)2i\sin(2x)

C

  1. 3π3 \pi
  2. 6π6 \pi

D

  1. 40964096

E

  1. 11

F

  1. 3π2\frac{3 \pi}{2}
  2. 2π3\frac{2 \pi}{3}
  3. 4π7\frac{4 \pi}{7}