Distributions invariantes

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Une distribution $\pi$ vérifie $\pi P = \pi$ . Que se passe-t-il à l'étape suivante ?

On cherche $\pi$ en résolvant un système.

\pi

est invariante si

\pi P = \pi

et si ses coefficients ont pour somme 1.

$P = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ . Trouve $\pi = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ .

0{,}9a + 0{,}5b = a

, donc

0{,}5b = 0{,}1a

Première coordonnée de πP = π.

a = 5b

, donc

6b = 1

a + b = 1.

\pi = \begin{pmatrix} \dfrac{5}{6} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}

Solution.

À toi : si $a = 3b$ et $a + b = 1$ , que vaut $b$ ?

\dfrac{1}{4}

4b = 1.

$P = \begin{pmatrix} 1 - \dfrac{ 9 }{10} & \dfrac{ 9 }{10} \\ \dfrac{ 6 }{10} & 1 - \dfrac{ 6 }{10} \end{pmatrix}$ . Trouve la première coordonnée $a$ de la distribution invariante.
$P = \begin{pmatrix} 1 - \dfrac{ 5 }{10} & \dfrac{ 5 }{10} \\ \dfrac{ 7 }{10} & 1 - \dfrac{ 7 }{10} \end{pmatrix}$ . Trouve la première coordonnée $a$ de la distribution invariante.

Problème final. $P = \begin{pmatrix} 1 - \dfrac{ 2 }{10} & \dfrac{ 2 }{10} \\ \dfrac{ 6 }{10} & 1 - \dfrac{ 6 }{10} \end{pmatrix}$ .

Comment vérifier qu'une distribution $\pi$ est invariante pour la matrice de transition $P$ ?
1. On vérifie que $\pi P = \pi$
2. On vérifie que $P\pi = P$
3. On vérifie que $\pi = 1$

Une distribution sur deux états s'écrit $\left(\dfrac{ 6 }{10} ; b\right)$ . Que vaut $b$ ?

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Distribution invariante

Attention : n'oublie pas la condition de somme.

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