Chaînes de Markov

Fiche d'exercices

De nouvelles questions sur tout le chapitre, à faire sur papier.

Nouvelles questions

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  1. Dans une chaîne à deux états, p11=810p_{11} = \dfrac{ 8 }{10}. Que vaut p12p_{12} ?
  2. P=(5101−5106101−610)P = \begin{pmatrix} \dfrac{ 5 }{10} & 1 - \dfrac{ 5 }{10} \\ \dfrac{ 6 }{10} & 1 - \dfrac{ 6 }{10} \end{pmatrix} et π0=(1212)\pi_0 = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}. Calcule la première coordonnée de π1\pi_1.
  3. Dans une matrice de transition à deux états, la première ligne est (810;p)\left(\dfrac{ 8 }{10} ; p\right). Que vaut pp ?
  4. Une chaîne reste dans l'état 1 avec la probabilité 510\dfrac{ 5 }{10} à chaque pas. Partant de l'état 1, quelle est la probabilité d'y rester deux fois de suite ?
  5. On trouve a=5ba = 5b et a+b=1a + b = 1. Que vaut bb ?
  6. P=(1−9109106101−610)P = \begin{pmatrix} 1 - \dfrac{ 9 }{10} & \dfrac{ 9 }{10} \\ \dfrac{ 6 }{10} & 1 - \dfrac{ 6 }{10} \end{pmatrix}. Trouve la première coordonnée aa de la distribution invariante.
  7. Comment vérifier qu'une distribution π\pi est invariante pour la matrice de transition PP ?
    1. On vérifie que πP=π\pi P = \pi
    2. On vérifie que Pπ=PP\pi = P
    3. On vérifie que π=1\pi = 1
  8. Une distribution sur deux états s'écrit (610;b)\left(\dfrac{ 6 }{10} ; b\right). Que vaut bb ?

Corrigé

  1. 15\frac{1}{5}
  2. 1120\frac{11}{20}
  3. 15\frac{1}{5}
  4. 14\frac{1}{4}
  5. 16\frac{1}{6}
  6. 25\frac{2}{5}
  7. On vérifie que πP=π\pi P = \pi
  8. 25\frac{2}{5}